CONSTANTE DE BOLTZMANN: HISTOIRE, ÉQUATIONS, CALCUL, EXERCICES - PHYSIQUE - 2025

La constante de Boltzmann est la valeur qui relie l'énergie cinétique moyenne d'un système thermodynamique ou d'un objet à la température absolue de celui-ci. Bien qu'elles soient souvent confondues, la température et l'énergie ne sont pas le même concept.

La température est une mesure de l'énergie, mais pas de l'énergie elle-même. Avec la constante de Boltzmann, ils sont liés les uns aux autres de la manière suivante:

Pierre tombale de Boltzmann à Vienne. Source: Daderot sur Wikipedia anglais

Cette équation est valable pour une molécule de gaz parfait monoatomique de masse m, où E _c est son énergie cinétique donnée en Joules, k _B est la constante de Boltzmann et T est la température absolue en Kelvin.

De cette manière, lorsque la température augmente, l'énergie cinétique moyenne par molécule de substance augmente également, comme cela devrait se produire. Et l'inverse se produit lorsque la température diminue, pouvant atteindre le point où si tout mouvement s'arrête, la température la plus basse possible ou le zéro absolu est atteint.

Lorsqu'on parle d'énergie cinétique moyenne, il faut se rappeler que l'énergie cinétique est associée au mouvement. Et les particules peuvent se déplacer de plusieurs manières, telles que se déplacer, tourner ou vibrer. Bien sûr, ils ne le feront pas tous de la même manière, et comme ils sont indénombrables, la moyenne est alors prise pour caractériser le système.

Certains états énergétiques sont plus probables que d'autres. Ce concept est d'une importance radicale en thermodynamique. L'énergie considérée dans l'équation précédente est l'énergie cinétique de translation. La probabilité des états et sa relation avec la constante de Boltzmann seront discutées un peu plus tard.

En 2018 Kelvin a été redéfini, et avec elle la constante de Boltzmann, qui, dans le système international est d' environ 1,380649 x 10 ^-23 J. K ^-1. La constante de Boltzmann, qui a été déterminée dans de nombreux laboratoires à travers le monde, par différentes méthodes, peut être beaucoup plus précise.

L'histoire

La célèbre constante doit son nom au physicien viennois Ludwig Boltzmann (1844-1906), qui a consacré sa vie de scientifique à l'étude du comportement statistique de systèmes à nombreuses particules, du point de vue de la mécanique newtonienne.

Bien qu'aujourd'hui l'existence de l'atome soit universellement acceptée, au 19ème siècle la croyance quant à savoir si l'atome existait réellement ou était un artifice avec lequel de nombreux phénomènes physiques étaient expliqués était en plein débat.

Boltzmann était un fervent défenseur de l'existence de l'atome et, à son époque, a fait face à de sévères critiques de son travail de la part de nombreux collègues, qui le considéraient comme contenant des paradoxes insolubles.

Il a déclaré que les phénomènes observables aux niveaux macroscopiques pourraient être expliqués par les propriétés statistiques des particules constituantes comme les atomes et les molécules.

Il se peut que ces critiques soient dues à l'épisode profond de dépression qui l'amena à se suicider au début de septembre 1906, alors qu'il avait encore beaucoup à faire, puisqu'il était considéré comme l'un des grands physiciens théoriciens de son temps et qu'il restait très peu à faire. que d'autres scientifiques contribuent à corroborer la véracité de leurs théories.

Peu de temps après sa mort, de nouvelles découvertes sur la nature de l'atome et de ses particules constituantes se sont ajoutées pour donner raison à Boltzmann.

La constante de Boltzmann et les œuvres de Planck

Maintenant, la constante de Boltzmann k _{B a} été introduite telle qu'elle est connue aujourd'hui quelque temps après les travaux du physicien autrichien. C'est Max Planck, dans sa loi de l'émission du corps noir, œuvre qu'il présente en 1901, qui lui donne alors la valeur de 1,34 x 10 ^-23 J / K.

Vers 1933, une plaque avec la définition de l'entropie impliquant la célèbre constante: S = k _B log W a été ajoutée à la pierre tombale de Boltzmann à Vienne en hommage posthume, une équation qui sera discutée plus tard.

Aujourd'hui, la constante de Boltzmann est indispensable dans l'application des lois de la thermodynamique, de la mécanique statistique et de la théorie de l'information, domaines dont ce physicien tristement fini fut un pionnier.

Valeur et équations

Les gaz peuvent être décrits en termes macroscopiques et également en termes microscopiques. Pour la première description, il existe des concepts tels que la densité, la température et la pression.

Cependant, il faut se rappeler qu'un gaz est composé de nombreuses particules, qui ont une tendance globale à un certain comportement. C'est cette tendance qui se mesure macroscopiquement. Une façon de déterminer la constante de Boltzmann est grâce à l'équation bien connue des gaz parfaits:

Ici p est la pression du gaz, V est son volume, n est le nombre de moles présentes, R est la constante du gaz et T est la température. Dans une mole de gaz parfait, la relation suivante entre le produit pV et l'énergie cinétique de translation K de l'ensemble entier est remplie est:

Par conséquent, l'énergie cinétique est:

En divisant par le nombre total de molécules présentes, que l'on appellera N, on obtient l'énergie cinétique moyenne d'une seule particule:

Dans une mole, il y a le nombre de particules d'Avogadro N _A, et donc le nombre total de particules est N = nN A, laissant:

Précisément le quotient R / N _A est la constante de Boltzmann, étant ainsi montré que l'énergie cinétique de translation moyenne d'une particule ne dépend que de la température absolue T et non d'autres grandeurs telles que la pression, le volume ou encore le type de molécule:

Constante et entropie de Boltzmann

Un gaz a une température donnée, mais cette température peut correspondre à différents états d'énergie interne. Comment visualiser cette différence?

Considérez le retournement simultané de 4 pièces et les façons dont elles peuvent tomber:

Façons dont 4 peuvent déposer 4 pièces. Source: self made

L'ensemble des pièces peut prendre un total de 5 états, considérés comme macroscopiques, décrits dans la figure. Selon le lecteur, lequel de ces états est le plus probable?

La réponse devrait être l'état de 2 têtes et 2 queues, car vous avez un total de 6 possibilités, sur les 16 illustrées sur la figure. Y 2 ⁴ = 16. Ceux-ci sont égaux aux états microscopiques.

Et si 20 pièces sont lancées au lieu de 4? Il y aurait un total de 2 ²⁰ possibilités ou "états microscopiques". C'est un nombre beaucoup plus important et plus difficile à gérer. Pour faciliter la manipulation de grands nombres, les logarithmes sont très appropriés.

Or, ce qui semble évident, c'est que l'état avec le plus grand désordre est le plus probable. Des états plus ordonnés comme 4 têtes ou 4 sceaux sont légèrement moins probables.

L'entropie d'un état macroscopique S est définie comme:

Où w est le nombre d'états microscopiques possibles du système et k _B est la constante de Boltzmann. Puisque ln w est sans dimension, l'entropie a les mêmes unités que k _B: Joule / K.

C'est la célèbre équation de la pierre tombale de Boltzmann à Vienne. Cependant, plus que l'entropie, ce qui est pertinent est son changement:

Comment calculez-vous k

La valeur de la constante de Boltzmann est obtenue expérimentalement de manière extrêmement précise avec des mesures basées sur la thermométrie acoustique, qui sont effectuées en utilisant la propriété qui établit la dépendance de la vitesse du son dans un gaz avec sa température.

En effet, la vitesse du son dans un gaz est donnée par:

B _adiabatique = γp

Et ρ est la densité du gaz. Pour l'équation ci-dessus, p est la pression du gaz en question et γ est le coefficient adiabatique, dont la valeur pour un gaz donné se trouve dans les tableaux.

Les instituts de métrologie expérimentent également d'autres moyens de mesurer la constante, comme la thermométrie de bruit Johnson, qui utilise des fluctuations thermiques aléatoires dans les matériaux, en particulier les conducteurs.

Exercices résolus

-Exercice 1

Trouver:

a) L'énergie cinétique de translation moyenne E _{c d'} une molécule de gaz parfait à 25 ºC

b) L'énergie cinétique de translation K des molécules dans 1 mole de ce gaz

c) La vitesse moyenne d'une molécule d'oxygène à 25 ºC

Fait

m _oxygène = 16 x ^10-3 kg / mol

Solution

a) E _c = (3/2) k T = 1,5 x 1,380649 x 10 ^-23 J. K ^-1 x 298 K = 6,2 x 10 ^-21 J

b) K = (3/2) nRT = 5 x 1 mol x 8,314 J / mol.K x 298 K = 3716 J

c) E _c = ½ mv ², en tenant compte du fait que la molécule d'oxygène est diatomique et que la masse molaire doit être multipliée par 2, on aura:

Trouvez le changement d'entropie lorsqu'une mole de gaz occupant un volume de 0,5 m ^{3 se} dilate pour occuper 1 m ³.

Solution

ΔS = k _B ln (w ₂ / w ₁)

Références

1. Atkins, P. 1999. Chimie physique. Éditions Omega. 13-47.
2. Bauer, W. 2011. Physique pour l'ingénierie et les sciences. Volume 1. Mc Graw Hill. 664- 672.
3. Giancoli, D. 2006. Physique: principes et applications. 6ème.. Ed Prentice Hall. 443-444.
4. Sears, Zemansky. 2016. Physique universitaire et physique moderne. 14e. Ed. Volume 1. 647-673.
5. OUI Redéfinition. Kelvin: constante de Boltzmann. Récupéré de: nist.gov