COEFFICIENT DE POISSON: COEFFICIENT, FORMULES, VALEURS, EXEMPLES - PHYSIQUE - 2025

Le coefficient de Poisson est une grandeur sans dimension, caractéristique de tout matériau. C'est une indication de la déformation d'un morceau de matériau avant l'application de certaines forces.

Lorsqu'un morceau de matériau soumis à une tension, ou à une compression, subit une déformation, le quotient entre la déformation transversale et la déformation longitudinale est précisément le coefficient de Poisson.

Figure 1. Le coefficient de Poisson mesure la relation entre l'étirement longitudinal et le rétrécissement transversal. (Préparé par Ricardo Pérez)

Par exemple, un cylindre en caoutchouc soumis à une tension à ses extrémités s'étire dans le sens longitudinal, mais se rétrécit transversalement. La figure 1 montre une barre dont les dimensions d'origine sont: longueur L et diamètre D.

La barre est soumise à une tension T à ses extrémités, et en conséquence de cette tension elle subit un étirement, de sorte que la nouvelle longueur est L '> L.Mais lorsqu'elle est étirée, son diamètre se rétrécit également à la nouvelle valeur: D «<D.

Le quotient entre l'étirement (positif) et le rétrécissement (négatif) multiplié par (-1) est un nombre positif compris entre 0 et 0,5. Ce nombre est le soi-disant coefficient de Poisson ν (lettre grecque nu).

Formule du coefficient de Poisson

Pour calculer le coefficient de Poisson, il est nécessaire de déterminer la déformation longitudinale et transversale.

La déformation longitudinale ε _L est l'étirement divisé par la longueur d'origine:

ε _L = (L '- L) / L

De même, la déformation transversale ε _T est le rétrécissement radial divisé par le diamètre d'origine:

ε _T = (D '- D) / D

Par conséquent, le coefficient de Poisson est calculé par la formule suivante:

ν = - ε _T / ε _L

Relation avec le module d'élasticité et le module de rigidité

Le coefficient de Poisson ν est lié au module d'élasticité E (ou module d'Young) et au module de rigidité G, par la formule suivante:

Valeur du coefficient de Poisson pour les matériaux

Figure 2. L'acier inoxydable a un coefficient de Poisson compris entre 0,30 et 0,31. Source: Pixabay.

Exemples de calcul

Exemple 1

Une barre d'une certaine matière plastique a une longueur de 150 mm et une section circulaire de 20 mm de diamètre. Lorsqu'il est soumis à une force de compression F de 612,25 kg-f, on observe un raccourcissement de 14 mm et simultanément une augmentation de 0,85 mm du diamètre de la barre.

Calculer:

a) Déformation longitudinale.

b) La déformation transversale.

c) Le coefficient de Poisson de ce matériau.

d) Module d'élasticité de Young correspondant au matériau.

e) Le module de rigidité de ce plastique.

Solution pour

Rappelons que la déformation longitudinale εL est l'étirement divisé par la longueur d'origine:

εL = (L '- L) / L

εL = (-14 mm) / 150 mm = -0,0933

Notez que la déformation longitudinale est sans dimension, et dans ce cas elle était négative car il y avait une diminution de sa dimension longitudinale.

Solution b

De même, la déformation transversale εT est le cône radial, divisé par le diamètre d'origine:

εT = (D '- D) / D

εT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425

La déformation transversale était positive car il y a eu une augmentation du diamètre de la barre.

Solution c

Pour le calcul du coefficient de Poisson, il faut se rappeler qu'il est défini comme le négatif du quotient entre la déformation transversale et la déformation longitudinale:

ν = - εT / εL

ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554

Il faut se rappeler que le coefficient de Poisson est un nombre sans dimension positif et que pour la plupart des matériaux, il est compris entre 0 et 0,5.

Solution d

Le module d'élasticité de Young, désigné par la lettre E, est la constante de proportionnalité dans la loi de Hooke. Par E, la contrainte normale σL est liée à la déformation εL, comme suit:

σL = E εL

La contrainte normale est définie comme le quotient entre la force normale (dans ce cas parallèle à l'axe de la barre) et l'aire de la section transversale:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

Dans cet exercice, la force F est de 612,25 kg-f, qui doit être convertie en newtons, qui est l'unité de force SI:

F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 N = 6000 N = 6 kN

Pour sa part, la section transversale de la zone A est:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2

Enfin, la contrainte normale appliquée à la barre est:

σL = F / A = 6000 N / 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19,098,593 Pa = 19,098 MPa

Pour calculer le module d'élasticité de Young, nous résolvons pour E à partir de la loi de Hooke σL = E εL:

E = σL / εL = 19 098 593 Pa / 0,0933 = 204,7 MPa

Solution e

Le module de rigidité G est lié au module d'Young E et au coefficient de Poisson ν par cette formule:

E / (2 G) = 1 + ν

De là, nous pouvons résoudre pour G:

G = E / (2 (1 + ν)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa

Exemple 2

Il existe un câble en cuivre d'un diamètre de 4 mm et d'une longueur de 1 m. Sachant que le module d'Young du cuivre est de 110 000 MPa et que son coefficient de Poisson est de 0,34, estimez l'étirement et le rétrécissement de diamètre que subit le fil lorsqu'un poids de 100 kg-f y est suspendu.

Solution

Tout d'abord, il est nécessaire de calculer la contrainte de traction normale que le poids exerce sur le fil, en suivant cette formule:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

La force F est de 980 N et la section transversale est:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2

Alors la contrainte de traction est:

σL = 980 N / 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2 = 77 986 000 Pa

Calcul de la déformation du fil

Le module d'élasticité de Young, désigné par la lettre E, est la constante de proportionnalité dans la loi de Hooke qui relie la contrainte normale σL à la déformation εL:

σL = E εL

À partir de là, la déformation longitudinale du fil de cuivre peut être résolue:

εL = σL / E = 77,986 MPa / 110000 MPa = 7,09 * 10 ^ -4

Calcul de la déformation transversale

Par contre, pour connaître la déformation transversale, le coefficient de Poisson est appliqué:

ν = - εT / εL

Enfin, la déformation transversale est:

εT = –ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4

Calcul de l'étirement absolu du câble

Enfin, pour connaître l'étirement absolu du câble, la relation suivante doit être appliquée:

ΔL = εL * L = 7,09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7,09 * 10 ^ -4 m = 0,709 mm

C'est-à-dire qu'avec ce poids le câble s'étirait à peine 0,709 millimètre.

Calcul de la diminution du diamètre

Pour obtenir le retrait absolu en diamètre, nous utilisons la formule suivante:

ΔD = εT * D = -2,41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^ -4 mm = -0,000964 millimètres.

Ce rétrécissement de diamètre est si petit qu'il est difficile de le voir à l'œil nu, même sa mesure nécessite un instrument de haute précision.

Références

1. Beer F.. Mécanique des matériaux. 5ème. Édition. 2010. Mc Graw Hill. 1-130.
2. Hibbeler R. Mécanique des matériaux. Huitième édition. Prentice Hall. 2011. 3-60.
3. Gere J. Mécanique des matériaux. Huitième édition. Apprentissage Cengage. 4-220.
4. Giancoli, D. 2006. Physique: principes et applications. 6e éd. Prentice Hall. 238-242.
5. Valera Negrete, J. 2005. Notes sur la physique générale. UNAM. 87-98.