CHOCS ÉLASTIQUES: EN UNE DIMENSION, CAS PARTICULIERS, EXERCICES - PHYSIQUE - 2025

Les collisions élastiques ou les collisions élastiques sont des interactions brèves mais intenses entre les objets, dans lesquelles à la fois la quantité de mouvement et l'énergie cinétique sont conservées. Les crashs sont des événements très fréquents dans la nature: des particules subatomiques aux galaxies, en passant par les boules de billard et les autos tamponneuses dans les parcs d'attractions, ce sont tous des objets susceptibles d'entrer en collision.

Lors d'une collision ou collision, les forces d'interaction entre objets sont très fortes, bien plus que celles qui peuvent agir de l'extérieur. De cette façon, on peut affirmer que lors de la collision, les particules forment un système isolé.

Les collisions avec des boules de billard peuvent être considérées comme élastiques. Source: Pixabay.

Dans ce cas, il est vrai que:

L'élan P _o avant la collision est le même qu'après la collision. Cela est vrai pour tout type de collision, à la fois élastique et inélastique.

Considérons maintenant ce qui suit: lors d'une collision, les objets subissent une certaine déformation. Lorsque le choc est élastique, les objets reprennent rapidement leur forme d'origine.

Conservation de l'énergie cinétique

Normalement, lors d'un accident, une partie de l'énergie des objets est dépensée pour la chaleur, la déformation, le son et parfois même la production de lumière. Ainsi, l'énergie cinétique du système après la collision est inférieure à l'énergie cinétique d'origine.

Lorsque l'énergie cinétique K est conservée alors:

Ce qui signifie que les forces agissant lors de la collision sont conservatrices. Lors de la collision, l'énergie cinétique est brièvement transformée en énergie potentielle puis de nouveau en énergie cinétique. Les énergies cinétiques respectives varient, mais la somme reste constante.

Les collisions parfaitement élastiques sont rares, bien que les boules de billard soient une assez bonne approximation, tout comme les collisions qui se produisent entre des molécules de gaz parfaits.

Chocs élastiques dans une dimension

Examinons une collision de deux particules de ceci dans une seule dimension; c'est-à-dire que les particules en interaction se déplacent, par exemple, le long de l'axe des x. Supposons qu'ils aient des masses m ₁ et m ₂. Les vitesses initiales de chacun sont respectivement u _{1 et} u ₂. Les vitesses finales sont v ₁ et v ₂.

On peut se passer de la notation vectorielle, puisque le mouvement est effectué le long de l'axe x, cependant, les signes (-) et (+) indiquent la direction du mouvement. A gauche est négatif et à droite positif, par convention.

-Formule pour collisions élastiques

Pour la quantité de mouvement

Pour l'énergie cinétique

Tant que les masses et les vitesses initiales sont connues, les équations peuvent être regroupées pour trouver les vitesses finales.

Le problème est qu'en principe, il est nécessaire d'effectuer un peu d'algèbre assez fastidieuse, car les équations d'énergie cinétique contiennent les carrés des vitesses, ce qui rend le calcul un peu lourd. L'idéal serait de trouver des expressions qui n'en contiennent pas.

La première consiste à se passer du facteur 1/2 et à réorganiser les deux équations de manière à ce qu'un signe négatif apparaisse et que les masses puissent être factorisées:

S'exprimant de cette manière:

Simplification pour éliminer les carrés des vitesses

Nous devons maintenant utiliser la somme du produit notable par sa différence dans la deuxième équation, avec laquelle nous obtenons une expression qui ne contient pas les carrés, comme initialement prévu:

L'étape suivante consiste à remplacer la première équation par la seconde:

Et comme le terme m ₂ (v ₂ - u ₂) est répété des deux côtés de l'égalité, ledit terme est annulé et reste ainsi:

Ou encore mieux:

Vitesses finales v

Vous avez maintenant deux équations linéaires avec lesquelles il est plus facile de travailler. Nous les remettrons les uns sous les autres:

Multiplier la deuxième équation par m ₁ et ajouter le terme au terme est:

Et il est déjà possible d'effacer v ₂. Par exemple:

Cas particuliers dans les collisions élastiques

Maintenant que les équations sont disponibles pour les vitesses finales des deux particules, il est temps d'analyser certaines situations particulières.

Deux masses identiques

Dans ce cas m ₁ = m ₂ = my:

Les particules échangent simplement leurs vitesses après la collision.

Deux masses identiques, dont l'une était initialement au repos

Encore une fois m ₁ = m ₂ = m et en supposant u ₁ = 0:

Après la collision, la particule qui était au repos acquiert la même vitesse que la particule qui se déplaçait, et celle-ci s'arrête à son tour.

Deux masses différentes, dont une initialement au repos

Dans ce cas supposons que u ₁ = 0, mais les masses sont différentes:

Et si m ₁ est beaucoup plus grand que m ₂ ?

Il arrive que m _{1 soit} toujours au repos et que m ₂ soit renvoyé avec la même vitesse à laquelle il a percuté.

Coefficient de restitution ou règle de Huygens-Newton

Auparavant, la relation suivante entre les vitesses était dérivée pour deux objets en collision élastique: u ₁ - u ₂ = v ₂ - v ₁. Ces différences sont les vitesses relatives avant et après la collision. En général, pour une collision, il est vrai que:

Le concept de vitesse relative est mieux apprécié si le lecteur imagine qu'il est sur l'une des particules et à partir de cette position, il observe la vitesse à laquelle l'autre particule se déplace. L'équation ci-dessus est réécrite comme ceci:

Exercices résolus

-Exercice résolu 1

Une boule de billard se déplace vers la gauche à 30 cm / s, entre en collision frontale avec une autre boule identique qui se déplace vers la droite à 20 cm / s. Les deux billes ont la même masse et la collision est parfaitement élastique. Trouvez la vitesse de chaque balle après l'impact.

Solution

u ₁ = -30 cm / s

u ₂ = +20 cm / s

C'est le cas particulier où deux masses identiques se heurtent élastiquement dans une dimension, donc les vitesses sont échangées.

v ₁ = +20 cm / s

v ₂ = -30 cm / s

-Exercice résolu 2

Le coefficient de restitution d'une balle qui rebondit sur le sol est égal à 0,82. S'il tombe du repos, quelle fraction de sa hauteur d'origine la balle atteindra-t-elle après avoir rebondi une fois? Et après 3 rebonds?

Une balle rebondit sur une surface ferme et perd de la hauteur à chaque rebond. Source: self made.

Solution

Le sol peut être l'objet 1 dans l'équation du coefficient de restitution. Et il reste toujours au repos, de sorte que:

Avec cette vitesse, il rebondit:

Le signe + indique qu'il s'agit d'une vitesse ascendante. Et selon lui, le ballon atteint une hauteur maximale de:

Maintenant, il revient au sol avec une vitesse de magnitude égale, mais de signe opposé:

Cela permet d'atteindre une hauteur maximale de:

Revenez au sol avec:

Rebonds successifs

Chaque fois que la balle rebondit et s'élève, multipliez à nouveau la vitesse par 0,82:

A ce stade, h ₃ est d'environ 30% de h _o. Quelle serait la hauteur du 6e rebond sans avoir à faire des calculs aussi détaillés que les précédents?

Ce serait h ₆ = 0,82 ¹² h _o = 0,092 h _o o seulement 9% de h _o.

-Exercice résolu 3

Un bloc de 300 g se déplace vers le nord à 50 cm / s et entre en collision avec un bloc de 200 g se dirigeant vers le sud à 100 cm / s. Supposons que le choc soit parfaitement élastique. Trouvez les vitesses après l'impact.

Les données

m ₁ = 300 g; u ₁ = + 50 cm / s

m ₂ = 200 g; u ₂ = -100 cm / s

-Exercice résolu 4

Une masse de m ₁ = 4 kg est libérée du point indiqué sur la voie sans frottement jusqu'à ce qu'elle entre en collision avec m ₂ = 10 kg au repos. Quelle est la hauteur du m ₁ après la collision?

Solution

Comme il n'y a pas de frottement, l'énergie mécanique est conservée pour trouver la vitesse u ₁ avec laquelle m ₁ atteint m _2. Au départ, l'énergie cinétique est 0, puisque m ₁ part du repos. Lorsqu'il se déplace sur la surface horizontale, il n'a pas de hauteur, donc l'énergie potentielle est de 0.

Maintenant, la vitesse de m ₁ après la collision est calculée:

Le signe négatif signifie qu'il a été renvoyé. Avec cette vitesse il monte et l'énergie mécanique est à nouveau conservée pour trouver h ', la hauteur à laquelle il parvient à monter après la collision:

Notez qu'il ne revient pas au point de départ à 8 m de hauteur. Il n'a pas assez d'énergie car la masse m _{1 a} cédé une partie de son énergie cinétique .

Références

1. Giancoli, D. 2006. Physique: principes et applications. 6 ^ème. Ed Prentice Hall. 175-181
2. Rex, A. 2011. Fondamentaux de la physique. Pearson. 135-155.
3. Serway, R., Vulle, C. 2011. Principes de base de la physique. 9 ^na Cengage Learning. 172-182
4. Tipler, P. (2006) Physique pour la science et la technologie. 5e Éd. Volume 1. Éditorial Reverté. 217-238
5. Tippens, P. 2011. Physique: concepts et applications. 7e édition. MacGraw Hill. 185-195