TRAPÈZE ISOCÈLE: PROPRIÉTÉS, RELATIONS ET FORMULES, EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2024

Un trapèze isocèle est un quadrilatère dans lequel deux des côtés sont parallèles l'un à l'autre et de plus, les deux angles adjacents à l'un de ces côtés parallèles ont la même mesure.

Dans la figure 1, nous avons le quadrilatère ABCD, dans lequel les côtés AD et BC sont parallèles. De plus, les angles ∠DAB et ∠ADC adjacents au côté parallèle AD ont la même mesure α.

Figure 1. Trapèze isocèle. Source: F. Zapata.

Donc ce quadrilatère, ou polygone à quatre côtés, est en fait un trapèze isocèle.

Dans un trapèze, les côtés parallèles sont appelés les bases et les côtés non parallèles sont appelés les latéraux. Une autre caractéristique importante est la hauteur, qui est la distance qui sépare les côtés parallèles.

Outre le trapèze isocèle, il existe d'autres types de trapèze:

-T scalène rapézoïdal, qui a tous ses angles et ses différents côtés.

-Rézoïde rectangulaire, dans lequel un côté a des angles adjacents droits.

La forme trapézoïdale est courante dans divers domaines de la conception, de l'architecture, de l'électronique, du calcul et bien d'autres, comme on le verra plus loin. D'où l'importance de se familiariser avec ses propriétés.

Propriétés

Exclusif au trapèze isocèle

Si un trapèze est isocèle, il possède les propriétés caractéristiques suivantes:

1.- Les côtés ont la même mesure.

2.- Les angles adjacents aux bases sont égaux.

3.- Les angles opposés sont supplémentaires.

4.- Les diagonales ont la même longueur, les deux segments qui rejoignent les sommets opposés étant identiques.

5.- L'angle formé entre les bases et les diagonales est tous de la même mesure.

6.- Il a une circonférence circonscrite.

Inversement, si un trapèze répond à l'une des propriétés ci-dessus, il s'agit d'un trapèze isocèle.

Si dans un trapèze isocèle l'un des angles est droit (90 °), alors tous les autres angles seront droits aussi, formant un rectangle. Autrement dit, un rectangle est un cas particulier d'un trapèze isocèle.

Figure 2. Le contenant de maïs soufflé et les tables de l'école ont la forme d'un trapèze isocèle. Source: Pxfuel (à gauche) / McDowell Craig via Flickr. (droite)

Pour tous les trapèzes

L'ensemble de propriétés suivant est valide pour n'importe quel trapèze:

7.- La médiane du trapèze, c'est-à-dire le segment qui rejoint les milieux de ses côtés non parallèles, est parallèle à l'une des bases.

8.- La longueur de la médiane est égale au semisum (somme divisée par 2) de celle de ses bases.

9.- La médiane d'un trapèze coupe ses diagonales au milieu.

10.- Les diagonales d'un trapèze se coupent en un point qui les divise en deux sections proportionnelles aux quotients des bases.

11.- La somme des carrés des diagonales d'un trapèze est égale à la somme des carrés de ses côtés plus le double produit de ses bases.

12.- Le segment qui rejoint les milieux des diagonales a une longueur égale à la demi-différence des bases.

13.- Les angles adjacents aux côtés sont supplémentaires.

14.- Un trapèze a une circonférence inscrite si et seulement si la somme de ses bases est égale à la somme de ses côtés.

15.- Si un trapèze a une circonférence inscrite, alors les angles avec un sommet au centre de ladite circonférence et les côtés qui passent par les extrémités du même côté sont des angles droits.

Relations et formules

L'ensemble suivant de relations et de formules est renvoyé à la figure 3, où en plus du trapèze isocèle, d'autres segments importants déjà mentionnés sont représentés, tels que les diagonales, la hauteur et la médiane.

Figure 3. Médiane, diagonales, hauteur et circonférence circonscrite dans un trapèze isocèle. Source: F. Zapata.

Relations uniques du trapèze isocèle

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA et ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º et ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- A, B, C et D appartiennent au cercle circonscrit.

Des relations pour n'importe quel trapèze

1. Si AK = KB et DL = LC ⇒ KL - AD et KL - BC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 et DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC et DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º et ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- Si AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R que équidistant de AD, BC, AB et DC

15.- Si ∃ R équidistante de AD, BC, AB et DC, alors:

∡BRA = ∡DRC = 90º

Relations pour trapèze isocèle avec circonférence inscrite

Si dans un trapèze isocèle la somme des bases est égale à deux fois une latérale, alors la circonférence inscrite existe.

Figure 4. Trapèze avec circonférence inscrite. Source: F. Zapata.

Les propriétés suivantes s'appliquent lorsque le trapèze isocèle a une circonférence inscrite (voir figure 4 ci-dessus):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- Les diagonales se coupent à angle droit: AC ⊥ BD

18.- La hauteur mesure la même chose que la médiane: HF = KL, c'est-à-dire h = m.

19.- Le carré de la hauteur est égal au produit des bases: h ² = BC⋅AD

20.- Dans ces conditions particulières, l'aire du trapèze est égale au carré de la hauteur ou au produit des bases: Aire = h ² = BC⋅AD.

Formules pour déterminer un côté, connaître les autres et un angle

Connaissant une base, le latéral et un angle, l'autre base peut être déterminée par:

a = b + 2c Cos α

b = a - 2c Cos α

Si la longueur des bases et un angle sont donnés comme données connues, alors les longueurs des deux côtés sont:

c = (a - b) / (2 Cos α)

Détermination d'un côté, connaître les autres et une diagonale

a = (d ₁ ² - c ²) / b;

b = (d ₁ ² - c ²) / a

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

Où d ₁ est la longueur des diagonales.

Base de hauteur, zone et autre base

a = (2 A) / h - b

b = (2 A) / h - a

Bases latérales connues, surface et angle

c = (2A) /

Médiane latérale, aire et angle connus

c = A / (m sin α)

Hauteur connue des côtés

h = √

Hauteur connue un angle et deux côtés

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. sin α

Diagonales connues de tous les côtés, ou deux côtés et un angle

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc Cos β)

Périmètre du triangle isocèle

P = a + b + 2c

Zone de trapèze isocèle

Il existe plusieurs formules pour calculer la superficie, en fonction des données connues. Ce qui suit est le plus connu, selon les bases et la hauteur:

A = h⋅ (a + b) / 2

Et vous pouvez également utiliser ces autres:

-Si les côtés sont connus

A = √

-Lorsque vous avez deux côtés et un angle

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

-Si le rayon du cercle inscrit et un angle sont connus

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen β

-Lorsque les bases et un angle sont connus

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-Si le trapèze peut être inscrit une circonférence

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

-Connaître les diagonales et l'angle qu'elles forment entre elles

A = (d ₁ ² /2) γ = Sen (d ₁ ² /2) ô Sen

-Lorsque vous avez le latéral, la médiane et un angle

A = mc.sen α = mc.sen β

Rayon du cercle circonscrit

Seuls les trapèzes isocèles ont une circonférence circonscrite. Si la plus grande base a, le latéral c et la diagonale d _{1 sont connus}, alors le rayon R du cercle passant par les quatre sommets du trapèze est:

R = a⋅c⋅d ₁ / 4√

Où p = (a + c + d ₁) / 2

Exemples d'utilisation du trapèze isocèle

Le trapèze isocèle apparaît dans le domaine du design, comme le montre la figure 2. Et voici quelques exemples supplémentaires:

En architecture et construction

Les anciens Incas connaissaient le trapèze isocèle et l'utilisaient comme élément de construction dans cette fenêtre à Cuzco, au Pérou:

Figure 5. Fenêtre trapézoïdale du Coricancha, Cuzco. Source: Wikimedia Commons.

Et ici le trapèze apparaît à nouveau dans la feuille dite trapézoïdale, un matériau fréquemment utilisé dans la construction:

Figure 6. Tôle trapézoïdale protégeant temporairement les fenêtres d'un bâtiment. Source: Wikimedia Commons.

Dans la conception

Nous avons déjà vu que le trapèze isocèle apparaît dans les objets du quotidien, y compris les aliments comme cette tablette de chocolat:

Figure 7. Tablette de chocolat dont les faces ont la forme d'un trapèze isocèle. Source: Pxfuel.

Exercices résolus

- Exercice 1

Un trapèze isocèle a une base supérieure à 9 cm, une base inférieure à 3 cm et ses diagonales de 8 cm chacune. Calculer:

de côté

b) Hauteur

c) Périmètre

d) Zone

Figure 8. Schéma de l'exercice 1. Source: F. Zapata

Solution pour

La hauteur CP = h est tracée, où le pied de la hauteur définit les segments:

PD = x = (ab) / 2 ans

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Utilisation du théorème de Pythagore pour le triangle rectangle DPC:

c ² = h ² + (a - b) ² / quatre

Et aussi vers le triangle rectangle APC:

d ² = h ² + AP ² = h ² + (a + b) ² / quatre

Enfin, membre par membre est soustrait, la seconde équation de la première et simplifiée:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm

Solution b

h ² = D ² - (a + b) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ²) = 8 ² - 6 ² = 28

h = 2 √7 = 5,29 cm

Solution c

Périmètre = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6.083 = 24.166 cm

Solution d

Aire = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm

- Exercice 2

Il y a un trapèze isocèle dont la plus grande base est deux fois la plus petite et sa plus petite base est égale à la hauteur, qui est de 6 cm. Décider:

a) La longueur du latéral

b) Périmètre

c) Zone

d) Angles

Figure 8. Schéma de l'exercice 2. Source: F. Zapata

Solution pour

Données: a = 12, b = a / 2 = 6 et h = b = 6

Nous procédons comme suit: nous dessinons la hauteur h et appliquons le théorème de Pythagore au triangle hypoténuse «c» et aux jambes h et x:

c ² = h ² + xc ²

Ensuite, il faut calculer la valeur de la hauteur à partir des données (h = b) et celle de la jambe x:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

En remplaçant les expressions précédentes, nous avons:

c ² = b ² + (ab) ² /2 ²

Maintenant, les valeurs numériques sont introduites et c'est simplifié:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

Obtention:

c = 3√5 = 6,71 cm

Solution b

Le périmètre P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm

Solution c

La surface en fonction de la hauteur et de la longueur des bases est:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm ²

Solution d

L'angle α que forme le latéral avec la plus grande base est obtenu par trigonométrie:

Tan (α) = h / x = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63,44 °

L'autre angle, celui qui forme le latéral avec la plus petite base est β, qui est complémentaire de α:

β = 180 ° - α = 180 ° - 63,44 ° = 116,56 °

Références

1. EA 2003. Éléments de géométrie: avec exercices et géométrie de la boussole. Université de Medellin.
2. Campos, F. 2014. Mathématiques 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. 2007. Découvrez les polygones. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. 2013. Polygones généralisés. Birkhäuser.
5. IGER. Mathématiques Premier semestre Tacaná. IGER.
6. Géométrie Jr. 2014. Polygones. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren et Hornsby. 2006. Mathématiques: raisonnement et applications. 10e. Édition. Pearson Education.
8. Patiño, M. 2006. Mathématiques 5. Progreso éditorial.
9. Wikipédia. Trapèze. Récupéré de: es.wikipedia.com