FONCTION CONSTANTE: CARACTÉRISTIQUES, EXEMPLES, EXERCICES - MATEMATIQUES - 2025

La fonction constante est celle dans laquelle la valeur de y est maintenue constante. En d'autres termes: une fonction constante a toujours la forme f (x) = k, où k est un nombre réel.

Lors de la représentation graphique de la fonction constante dans le système de coordonnées xy, il en résulte toujours une ligne droite parallèle à l'horizontale ou à l'axe des x.

Figure 1. Graphique de plusieurs fonctions constantes sur le plan cartésien. Source: Wikimedia Commons. Utilisateur: HiTe

Cette fonction est un cas particulier de la fonction affine, dont le graphe est aussi une droite, mais avec une pente. La fonction constante a une pente nulle, c'est-à-dire qu'il s'agit d'une ligne horizontale, comme le montre la figure 1.

Là, le graphique de trois fonctions constantes est affiché:

Toutes sont des lignes parallèles à l'axe horizontal, la première est en dessous dudit axe, tandis que les autres sont au-dessus.

Caractéristiques fonctionnelles constantes

Nous pouvons résumer les principales caractéristiques de la fonction constante comme suit:

-Son graphique est une ligne droite horizontale.

-Il a une intersection unique avec l'axe y, qui vaut k.

-C'est continu.

-Le domaine de la fonction constante (l'ensemble de valeurs qui peuvent avoir des x) est l'ensemble des nombres réels R.

-Le chemin, la plage ou le contre-domaine (l'ensemble des valeurs que prend la variable y) est simplement la constante k.

Exemples

Des fonctions sont nécessaires pour établir des liens entre des quantités qui dépendent les unes des autres d'une manière ou d'une autre. La relation entre eux peut être modélisée mathématiquement, pour savoir comment l'un d'eux se comporte lorsque l'autre varie.

Cela aide à construire des modèles pour de nombreuses situations et à faire des prédictions sur leur comportement et leur évolution.

Malgré son apparente simplicité, la fonction constante a de nombreuses applications. Par exemple, lorsqu'il s'agit d'étudier des quantités qui restent constantes dans le temps, ou du moins pendant un temps appréciable.

De cette manière, les grandeurs se comportent dans des situations telles que les suivantes:

-La vitesse de croisière d'une voiture se déplaçant sur une longue autoroute droite. Tant que vous ne freinez pas ou n'accélérez pas, la voiture a un mouvement rectiligne uniforme.

Figure 2. Si la voiture ne freine pas ou n'accélère pas, elle a un mouvement rectiligne uniforme. Source: Pixabay.

-Un condensateur complètement chargé déconnecté d'un circuit a une charge constante dans le temps.

-Enfin, un parking forfaitaire maintient un prix constant quelle que soit la durée de stationnement d'une voiture.

Une autre façon de représenter une fonction constante

La fonction constante peut également être représentée comme suit:

Puisque toute valeur de x élevée à 0 donne 1 comme résultat, l'expression précédente se réduit à celle déjà familière:

Bien sûr, cela se produit tant que la valeur de k est différente de 0.

C'est pourquoi la fonction constante est également classée comme une fonction polynomiale de degré 0, puisque l'exposant de la variable x est 0.

Exercices résolus

- Exercice 1

Répondre aux questions suivantes:

a) Peut-on affirmer que la droite donnée par x = 4 est une fonction constante? Justifiez votre réponse.

b) Une fonction constante peut-elle avoir une intersection avec x?

c) La fonction f (x) = w ^{2 est-elle} constante ?

Réponds à

Voici le graphique de la ligne x = 4:

Figure 3. Graphique de la ligne x = 4. Source: F. Zapata.

La ligne x = 4 n'est pas une fonction; par définition une fonction est une relation telle que chaque valeur de la variable x correspond à une seule valeur de y. Et dans ce cas ce n'est pas vrai, puisque la valeur x = 4 est associée à des valeurs infinies de y. La réponse est donc non.

Réponse b

En général, une fonction constante n'a pas d'ordonnée à l'origine, sauf si elle est y = 0, auquel cas il s'agit de l'axe des x lui-même.

Réponse c

Oui, puisque w est constant, son carré est également constant. Ce qui compte, c'est que w ne dépend pas de la variable d'entrée x.

- Exercice 2

Trouvez l'intersection entre les fonctions f (x) = 5 et g (x) = 5x - 2

Solution

Pour trouver l'intersection entre ces deux fonctions, elles peuvent être respectivement réécrites comme:

Ils sont égalisés, obtenant:

Qu'est-ce qu'une équation linéaire du premier degré, dont la solution est:

Le point d'intersection est (7 / 5,5).

- Exercice 3

Montrez que la dérivée d'une fonction constante est 0.

Solution

De la définition de dérivé, nous avons:

Remplacer dans la définition:

De plus, si l'on considère la dérivée comme le taux de changement dy / dx, la fonction constante ne subit aucun changement, donc sa dérivée est nulle.

- Exercice 4

Trouvez l'intégrale indéfinie de f (x) = k.

Solution

Figure 4. Graphique de la fonction v (t) pour le mobile de l'exercice 6. Source: F. Zapata.

On demande:

a) Écris une expression pour la fonction de vitesse en fonction du temps v (t).

b) Trouvez la distance parcourue par le mobile dans l'intervalle de temps entre 0 et 9 secondes.

Solution pour

Le graphique présenté montre que:

- v = 2 m / s dans l'intervalle de temps entre 0 et 3 secondes

-Le mobile est arrêté entre 3 et 5 secondes, car dans cet intervalle la vitesse est de 0.

- v = - 3 m / s entre 5 et 9 secondes.

C'est un exemple de fonction par morceaux, ou fonction par morceaux, qui à son tour est composée de fonctions constantes, valable uniquement pour les intervalles de temps indiqués. On en conclut que la fonction souhaitée est:

Solution b

À partir du graphique v (t), la distance parcourue par le mobile peut être calculée, ce qui est numériquement équivalent à la surface sous / sur la courbe. De cette manière:

-Distance parcourue entre 0 et 3 secondes = 2 m / s. 3 s = 6 m

- Entre 3 et 5 secondes, il a été détenu, donc il n'a parcouru aucune distance.

-Distance parcourue entre 5 et 9 secondes = 3 m / s. 4 s = 12 m

Au total, le mobile a parcouru 18 m. Notez que bien que la vitesse soit négative dans l'intervalle entre 5 et 9 secondes, la distance parcourue est positive. Ce qui se passe, c'est que pendant cet intervalle de temps, le mobile avait changé le sens de sa vitesse.

Références

1. Geogebra. Fonctions constantes. Récupéré de: geogebra.org.
2. Maplesoft. La fonction constante. Récupéré de: maplesoft.com.
3. Wikibooks. Calcul dans une variable / Fonctions / Fonction constante. Récupéré de: es.wikibooks.org.
4. Wikipédia. Fonction constante. Récupéré de: en.wikipedia.org
5. Wikipédia. Fonction constante. Récupéré de: es.wikipedia.org.