BINÔME CONJUGUÉ: COMMENT LE RÉSOUDRE, EXEMPLES, EXERCICES - MATEMATIQUES - 2024

Un binôme conjugué d'un autre binôme est celui dans lequel ils ne sont différenciés que par un signe de l'opération. Le binôme, comme son nom l'indique, est une structure algébrique composée de deux termes.

Quelques exemples de binômes sont: (a + b), (3m - n) et (5x - y). Et leurs binômes conjugués respectifs sont: (a - b), (-3m - n) et (5x + y). Comme on peut le voir immédiatement, la différence réside dans le signe.

Figure 1. Un binôme et son binôme conjugué. Ils ont les mêmes termes, mais diffèrent dans le signe. Source: F. Zapata.

Un binôme multiplié par son conjugué donne un produit remarquable largement utilisé en algèbre et en science. Le résultat de la multiplication est la soustraction des carrés des termes du binôme original.

Par exemple, (x - y) est un binôme et son conjugué est (x + y). Ainsi, le produit des deux binômes est la différence des carrés des termes:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Comment résolvez-vous un binôme conjugué?

La règle énoncée des binômes conjugués est la suivante:

A titre d'exemple d'application, nous commencerons par démontrer le résultat précédent, qui peut être fait en utilisant la propriété distributive du produit par rapport à la somme algébrique.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - yy

La multiplication ci-dessus a été obtenue en suivant ces étapes:

- Le premier terme du premier binôme est multiplié par le premier terme du second

- Puis le premier du premier, pour le second du second

- Puis le second du premier par le premier du second

- Enfin le second du premier par le second du second.

Maintenant, faisons un petit changement en utilisant la propriété commutative: yx = xy. Cela ressemble à ceci:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - yy

Comme il y a deux termes égaux mais de signe opposé (surlignés en couleur et souligné), ils sont annulés et c'est simplifié:

(x - y) (x + y) = xx - yy

Enfin, on applique que multiplier un nombre par lui-même équivaut à le mettre au carré, de sorte que xx = x ² et aussi yy = y ².

De cette manière, il est démontré ce qui avait été indiqué dans la section précédente, que le produit d'une somme et sa différence est la différence des carrés:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Figure 2. Une somme multipliée par sa différence est une différence de carrés. Source: F. Zapata.

Exemples

- Binômes conjugués de diverses expressions

Exemple 1

Trouvez le conjugué de (y ² - 3y).

Réponse: (y ² + 3y)

Exemple 2

Obtenez le produit de (y ² - 3y) et de son conjugué.

Réponse: (y ² - 3y) (y ² + 3y) = (y ²) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

Exemple 3

Développez le produit (1 + 2a). (2a -1).

Réponse: l'expression précédente équivaut à (2a + 1). (2a -1), c'est-à-dire qu'elle correspond au produit d'un binôme et de son conjugué.

On sait que le produit d'un binôme par son binôme conjugué est égal à la différence des carrés des termes du binôme:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

Exemple 4

Écrivez le produit (x + y + z) (x - y - z) comme une différence de carrés.

Réponse: nous pouvons assimiler les trinômes ci-dessus à la forme binomiale conjuguée, en utilisant soigneusement les parenthèses et les crochets:

(x + y + z) (x - y - z) =

De cette façon, la différence des carrés peut être appliquée:

(x + y + z) (x - y - z) =. = x ² - (y + z) ²

Exemple 5

Exprimez le produit (m ² - m -1). (M ² + m -1) comme une différence de carrés.

Réponse: l'expression précédente est le produit de deux trinômes. Il doit d'abord être réécrit comme le produit de deux binômes conjugués:

(m ² - m -1) (m ² + m -1) = (m ² - 1 - m) (m ² -1 + m) =.

Nous appliquons le fait que le produit d'un binôme par son conjugué est la différence quadratique de ses termes, comme cela a été expliqué:

. = (m ² -1) ² - m ²

Exercices

Comme toujours, vous commencez par les exercices les plus simples, puis augmentez le niveau de complexité.

- Exercice 1

Écrivez (9 - à ²) en tant que produit.

Solution

Tout d'abord, nous réécrivons l'expression comme une différence de carrés, afin d'appliquer ce qui a été expliqué précédemment. Donc:

(9 - un ²) = (3 ² - un ²)

Ensuite, nous factorisons, ce qui équivaut à écrire cette différence de carrés comme un produit, comme demandé dans la déclaration:

(9 - un ²) = (3 ² - un ²) = (3 + a) (3 -a)

- Exercice 2

Facteur 16x ² - 9y ⁴.

Solution

Factoriser une expression signifie l'écrire comme un produit. Dans ce cas, il est nécessaire de réécrire au préalable l'expression, pour obtenir une différence de carrés.

Ce n'est pas difficile à faire, car en regardant attentivement, tous les facteurs sont des carrés parfaits. Par exemple, 16 est le carré de 4, 9 est le carré de 3 et ⁴ est le carré de y ² et x ² est le carré de x:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ²) ²

Ensuite, nous appliquons ce que nous savons déjà précédemment: qu'une différence de carrés est le produit de binômes conjugués:

(4x) ² - (3 et ²) ² = (4x - 3 et ²). (4x + 3 et ²)

- Exercice 3

Écrivez (a - b) comme un produit de binômes

Solution

La différence ci-dessus doit être écrite sous forme de différences de carrés

(√a) ² - (√b) ²

Ensuite, il est appliqué que la différence des carrés est le produit des binômes conjugués

(√a - √b) (√a + √b)

- Exercice 4

L'une des utilisations du binôme conjugué est la rationalisation des expressions algébriques. Cette procédure consiste à éliminer les racines du dénominateur d'une expression fractionnaire, ce qui dans de nombreux cas facilite les opérations. Il est demandé d'utiliser le binôme conjugué pour rationaliser l'expression suivante:

√ (2 x) /

Solution

La première chose est d'identifier le binôme conjugué du dénominateur:.

Maintenant, nous multiplions le numérateur et le dénominateur de l'expression originale par le binôme conjugué:

√ (2-x) / {.}

Dans le dénominateur de l'expression précédente on reconnaît le produit d'une différence par une somme, dont on sait déjà qu'elle correspond à la différence des carrés des binômes:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

Simplifier le dénominateur est:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 fois)

Nous traitons maintenant du numérateur, pour lequel nous appliquerons la propriété distributive du produit par rapport à la somme:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

Dans l'expression précédente, nous reconnaissons le produit du binôme (2-x) par son conjugué, qui est le produit notable égal à la différence des carrés. De cette manière, une expression rationalisée et simplifiée est finalement obtenue:

/ (1 fois)

- Exercice 5

Développez le produit suivant, en utilisant les propriétés du binôme conjugué:

Solution

4a ^{(2x + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x).a ^(6y) - 9a ^(2x).a ^(-6y) =.a ^(2x)

Le lecteur attentif aura remarqué le facteur commun qui a été mis en évidence en couleur.

Références

1. Baldor, A. 1991. Algèbre. Éditorial Cultural Venezolana SA
2. González J. Exercices binomiaux conjugués. Récupéré de: academia.edu.
3. Professeur de mathématiques Alex. Des produits remarquables. Récupéré de youtube.com.
4. Math2me. Binômes conjugués / produits notables. Récupéré de youtube.com.
5. Produits binomiaux conjugués. Récupéré de: lms.colbachenlinea.mx.
6. Vitual. Binômes conjugués. Récupéré de: youtube.com.