LANGAGE ALGÉBRIQUE: CONCEPT, À QUOI IL SERT, EXEMPLES, EXERCICES - MATEMATIQUES - 2025

Le langage algébrique est celui qui utilise des lettres, des symboles et des nombres pour exprimer brièvement et de manière concise des phrases dans lesquelles des opérations mathématiques sont nécessaires. Par exemple 2x - x ² est un langage algébrique.

Utiliser le langage algébrique approprié est très important pour modéliser de nombreuses situations qui se produisent dans la nature et dans la vie de tous les jours, dont certaines peuvent être très complexes en fonction du nombre de variables traitées.

Le langage algébrique se compose de symboles, de lettres et de nombres qui expriment brièvement des propositions mathématiques. Source: Pixabay.

Nous allons montrer quelques exemples simples, par exemple les suivants: Exprimer en langage algébrique la phrase «Double un nombre».

La première chose à prendre en compte est que nous ne savons pas combien vaut ce nombre. Puisqu'il y en a beaucoup à choisir, alors nous allons l'appeler "x", qui les représente tous, puis nous le multiplions par 2:

Le double d'un nombre est égal à: 2x

Essayons cette autre proposition:

Comme nous savons déjà que nous pouvons appeler n'importe quel nombre inconnu "x", nous le multiplions par 3 et ajoutons l'unité, qui n'est rien d'autre que le nombre 1, comme ceci:

Le triple d'un nombre plus l'unité est égal à: 3x + 1

Une fois que nous avons traduit la proposition en langage algébrique, nous pouvons alors lui donner la valeur numérique que nous voulons, pour effectuer des opérations telles que l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et bien d'autres.

À quoi sert le langage algébrique?

L'avantage immédiat du langage algébrique est sa brièveté et sa concision. Une fois manipulés, le lecteur apprécie les propriétés en un coup d'œil qui, autrement, prendraient de nombreux paragraphes à décrire et un peu de temps à lire.

De plus, étant bref, il facilite les opérations entre les expressions et les propositions, en particulier lorsque nous utilisons des symboles tels que =, x, +, -, pour ne citer que quelques-uns des nombreux que les mathématiques ont.

Bref, une expression algébrique serait, pour une proposition, l'équivalent de regarder une photo d'un paysage, au lieu de lire une longue description en mots. Par conséquent, le langage algébrique facilite l'analyse et les opérations et rend les textes beaucoup plus courts.

Et ce n'est pas tout, le langage algébrique permet d'écrire des expressions générales, puis de les utiliser pour trouver des choses très spécifiques.

Supposons par exemple qu'on nous demande de trouver la valeur de: "tripler un nombre plus l'unité lorsque ledit nombre vaut 10".

Ayant l'expression algébrique, il est facile de substituer "x" à 10 et d'effectuer l'opération décrite:

(3 × 10) + 1 = 31

Si plus tard nous voulons trouver le résultat avec une autre valeur de "x", cela peut être fait tout aussi rapidement.

Un peu d'histoire

Bien que nous connaissions les lettres et symboles mathématiques tels que le «=», la lettre «x» pour les inconnues, la croix «x» pour le produit, et bien d'autres, ceux-ci n'étaient pas toujours utilisés pour écrire des équations et des phrases.

Par exemple, les anciens textes mathématiques arabes et égyptiens ne contenaient pratiquement aucun symbole, et sans eux, nous pouvons déjà imaginer à quel point ils devaient être étendus.

Cependant, ce sont les mêmes mathématiciens musulmans qui ont commencé à développer le langage algébrique à partir du Moyen Âge. Mais c'est le mathématicien et cryptographe français François Viete (1540-1603) qui fut le premier connu à écrire une équation à l'aide de lettres et de symboles.

Quelque temps plus tard, le mathématicien anglais William Oughtred a écrit un livre qu'il a publié en 1631, où il a utilisé des symboles tels que la croix pour le produit et le symbole proportionnel ∝, qui sont encore utilisés aujourd'hui.

Avec le passage du temps et la contribution de nombreux scientifiques, tous les symboles qui sont utilisés aujourd'hui dans les écoles, les universités et les différents domaines professionnels se sont développés.

Et c'est que les mathématiques sont présentes dans les sciences exactes, l'économie, l'administration, les sciences sociales et bien d'autres domaines.

Exemples de langage algébrique

Voici des exemples d'utilisation du langage algébrique, pas seulement pour exprimer des propositions en termes de symboles, de lettres et de nombres.

Figure 2.- Tableau avec quelques propositions couramment utilisées et leurs équivalents en langage algébrique. Source: F. Zapata.

Parfois, nous devons aller dans la direction opposée, et avoir une expression algébrique, l'écrire avec des mots.

Remarque: bien que l'utilisation de "x" comme symbole de l'inconnu soit très répandue (le fréquent "… trouver la valeur de x…" dans les tests), la vérité est que nous pouvons utiliser n'importe quelle lettre que nous voulons exprimer la valeur d'une certaine ampleur.

L'important est d'être cohérent pendant la procédure.

- Exemple 1

Écrivez les phrases suivantes en utilisant un langage algébrique:

a) Le quotient entre le double d'un nombre et le triple du même plus l'unité

Réponds à

Soit n le nombre inconnu. L'expression recherchée est:

b) Cinq fois un nombre plus 12 unités:

Réponse b

Si m est le nombre, multipliez par 5 et ajoutez 12:

c) Le produit de trois nombres naturels consécutifs:

Réponse c

Soit x l'un des nombres, le nombre naturel qui suit est (x + 1) et celui qui suit est (x + 1 + 1) = x + 2. Par conséquent, le produit des trois est:

d) La somme de cinq nombres naturels consécutifs:

Réponse d

Cinq nombres naturels consécutifs sont:

Répondre

Parfois, l'expression «… diminué de» est utilisée pour exprimer une soustraction. De cette façon, l'expression précédente serait:

Double un nombre diminué dans son carré.

Exercice résolu

La différence de deux nombres est égale à 2. On sait également que 3 fois le plus grand, additionné de deux fois le plus petit, est égal à quatre fois la différence précitée. Combien vaut la somme des nombres?

Solution

Nous analyserons attentivement la situation présentée. La première phrase nous dit qu'il y a deux nombres, que nous appellerons x et y.

L'un d'eux est plus grand, mais on ne sait pas lequel, donc nous supposerons qu'il s'agit de x. Et sa différence est égale à 2, nous écrivons donc:

x - y = 2

Alors on nous explique que "3 fois le plus grand…", c'est égal à 3x. Ensuite, il va: ajouté avec "deux fois le plus petit…", ce qui équivaut à 2y… Arrêtons-nous et écrivons ici:

3x + 2 ans….

Maintenant, nous continuons: «… est égal à quatre fois la différence susmentionnée». La différence susmentionnée est de 2 et nous pouvons maintenant compléter la proposition:

3x + 2y = 4,2 = 8

Avec ces deux propositions, nous devons trouver la somme des nombres. Mais pour les ajouter, nous devons d'abord savoir ce qu'ils sont.

Nous revenons à nos deux propositions:

x - y = 2

3x - 2y = 8

Nous pouvons résoudre pour x à partir de la première équation: x = 2 + y. Puis remplacez dans le second:

3 (2 + y) - 2y = 8

y + 6 = 8

y = 2

Avec ce résultat et en remplaçant, x = 4 et ce que le problème demande est la somme des deux: 6.

Références

1. Arellano, I. Brève histoire des symboles mathématiques. Récupéré de: cienciorama.unam.mx.
2. Baldor, A. 1974. Algèbre élémentaire. Cultural Venezolana SA
3. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
4. Méndez, A. 2009. Mathématiques I. Éditorial Santillana.
5. Zill, D. 1984. Algèbre et trigonométrie. McGraw Hill.