L' inverse multiplicatif d'un nombre est compris comme un autre nombre qui, multiplié par le premier, donne l'élément neutre du produit, c'est-à-dire l'unité. Si nous avons un nombre réel a alors son inverse multiplicatif est noté -1, et il est vrai que:
aa -1 = a -1 a = 1
En général, le nombre a appartient à l'ensemble des nombres réels.
Figure 1. Y est l'inverse multiplicatif de X et X est l'inverse multiplicatif de Y.
Si par exemple nous prenons a = 2, alors son inverse multiplicatif est 2 -1 = ½ puisque ce qui suit est vrai:
2 ⋅ 2 -1 = 2 -1 ⋅ 2 = 1
2⋅ ½ = ½ ⋅ 2 = 1
L'inverse multiplicatif d'un nombre est également appelé réciproque, car l'inverse multiplicatif est obtenu en échangeant le numérateur et le dénominateur, par exemple l'inverse multiplicatif de 3/4 est 4/3.
En règle générale, on peut dire que pour un nombre rationnel (p / q) son inverse multiplicatif (p / q) -1 est réciproque (q / p) comme on peut le vérifier ci-dessous:
(p / q) ⋅ (p / q) -1 = (p / q) ⋅ (q / p) = (p⋅ q) / (q⋅ p) = (p⋅ q) / (p⋅ q) = une
Rappelons que l'inverse multiplicatif est aussi appelé réciproque car il est obtenu précisément en échangeant numérateur et dénominateur.
Alors l'inverse multiplicatif de (a - b) / (a ^ 2 - b ^ 2) sera:
(a ^ 2 - b ^ 2) / (a - b)
Mais cette expression peut être simplifiée si l'on reconnaît, selon les règles de l'algèbre, que le numérateur est une différence de carrés qui peut être factorisée comme le produit d'une somme par une différence:
((a + b) (a - b)) / (a - b)
Comme il existe un facteur commun (a - b) dans le numérateur et dans le dénominateur, nous procédons à la simplification, obtenant finalement:
(a + b) qui est l'inverse multiplicatif de (a - b) / (a ^ 2 - b ^ 2).
Références
- Fuentes, A. (2016). MATHÉMATIQUES DE BASE. Une introduction au calcul. Lulu.com.
- Garo, M. (2014). Mathématiques: équations quadratiques: comment résoudre une équation quadratique. Marilù Garo.
- Haeussler, EF et Paul, RS (2003). Mathématiques pour la gestion et l'économie. Pearson Education.
- Jiménez, J., Rofríguez, M. et Estrada, R. (2005). Math 1 SEP. Seuil.
- Preciado, CT (2005). Cours de mathématiques 3e. Éditorial Progreso.
- Rock, Nouveau-Mexique (2006). L'algèbre I est facile! Si facile. Team Rock Press.
- Sullivan, J. (2006). Algèbre et trigonométrie. Pearson Education.