L' interpolation linéaire est une méthode qui génère une interpolation et une approximation de Newton générales pour déterminer une valeur inconnue entre deux nombres donnés; c'est-à-dire qu'une valeur intermédiaire est trouvée. Elle s'applique également aux fonctions approchées, où les valeurs f (a) et f (b) sont connues et que l'on veut connaître l'intermédiaire de f (x).
Il existe différents types d'interpolation, tels que linéaire, quadratique, cubique et de degrés supérieurs, le plus simple étant l'approximation linéaire. Le prix à payer avec une interpolation linéaire est que le résultat ne sera pas aussi précis qu'avec des approximations utilisant des fonctions de degrés plus élevés.
Définition
L'interpolation linéaire est un processus qui vous permet de déduire une valeur entre deux valeurs bien définies, qui peuvent être dans un tableau ou dans un graphique linéaire.
Par exemple, si vous savez que 3 litres de lait valent 4 $ et que 5 litres valent 7 $, mais que vous voulez savoir quelle est la valeur de 4 litres de lait, vous interpolez pour déterminer cette valeur intermédiaire.
Méthode
Pour estimer une valeur intermédiaire d'une fonction, la fonction f (x) est approchée au moyen d'une ligne r (x), ce qui signifie que la fonction varie linéairement avec «x» pour une section «x = a» et «x = b "; c'est-à-dire que pour une valeur "x" dans l'intervalle (x 0, x 1) et (y 0, y 1), la valeur de "y" est donnée par la ligne entre les points et est exprimée par la relation suivante:
(y - y 0) ÷ (x - x 0) = (y 1 - y 0) ÷ (x 1 - x 0)
Pour qu'une interpolation soit linéaire, le polynôme d'interpolation doit être de degré un (n = 1), de sorte qu'il corresponde aux valeurs de x 0 et x 1.
L'interpolation linéaire est basée sur la similitude des triangles, de telle manière que, dérivant géométriquement de l'expression précédente, la valeur de "y" peut être obtenue, qui représente la valeur inconnue pour "x".
De cette façon, vous devez:
a = tan Ɵ = (jambe opposée 1 ÷ jambe adjacente 1) = (jambe opposée 2 ÷ jambe adjacente 2)
Exprimé d'une autre manière, c'est:
(y - y 0) ÷ (x - x 0) = (y 1 - y 0) ÷ (x 1 - x 0)
En résolvant «et» à partir des expressions, nous avons:
(y - y 0) * (x 1 - x 0) = (x - x 0) * (y 1 - y 0)
(y - y 0) = (y 1 - y 0) *
Ainsi, l'équation générale de l'interpolation linéaire est obtenue:
y = y 0 + (y 1 - y 0) *
En général, l'interpolation linéaire donne une petite erreur sur la valeur réelle de la fonction vraie, bien que l'erreur soit minime par rapport à si vous choisissez intuitivement un nombre proche de celui que vous voulez trouver.
Cette erreur se produit lors de la tentative d'approximation de la valeur d'une courbe avec une ligne droite; Dans ces cas, la taille de l'intervalle doit être réduite pour rendre l'approximation plus précise.
Pour de meilleurs résultats concernant l'approximation, il est recommandé d'utiliser des fonctions de degré 2, 3 ou même des degrés plus élevés pour effectuer l'interpolation. Pour ces cas, le théorème de Taylor est un outil très utile.
Exercices résolus
Exercice 1
Le nombre de bactéries par unité de volume existant dans une incubation après x heures est présenté dans le tableau suivant. Vous voulez savoir quel est le volume de bactéries pendant 3,5 heures.
Solution
Le tableau de référence n'établit pas de valeur indiquant la quantité de bactéries pendant une durée de 3,5 heures, mais il existe des valeurs supérieures et inférieures correspondant à une durée de 3 et 4 heures, respectivement. De ce façon:
x 0 = 3 et 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 et 1 = 135
Maintenant, l'équation mathématique est appliquée pour trouver la valeur interpolée, qui est la suivante:
y = y 0 + (y 1 - y 0) *.
Ensuite, les valeurs correspondantes sont remplacées:
y = 91 + (135 à 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Ainsi, on obtient que pendant un temps de 3,5 heures, le nombre de bactéries est de 113, ce qui représente un niveau intermédiaire entre le volume de bactéries existant dans les temps de 3 et 4 heures.
Exercice 2
Luis a une fabrique de crème glacée et il veut faire une étude pour déterminer le revenu qu'il avait en août en fonction des dépenses effectuées. L'administrateur de l'entreprise fait un graphique qui exprime cette relation, mais Luis veut savoir:
Quel est le revenu pour août, si une dépense de 55 000 $ a été engagée?
Solution
Un graphique est donné avec les valeurs des revenus et des dépenses. Luis veut savoir quels sont les revenus d'août si l'usine avait une dépense de 55 000 $. Cette valeur n'est pas directement reflétée dans le graphique, mais les valeurs sont supérieures et inférieures à cela.
Tout d'abord, un tableau est créé pour relier facilement les valeurs:
Maintenant, la formule d'interpolation est utilisée pour déterminer ainsi la valeur de y
y = y 0 + (y 1 - y 0) *
Ensuite, les valeurs correspondantes sont remplacées:
y = 56 000 + (78 000 - 56 000) *
y = 56 000 + (22 000) *
y = 56 000 + (22 000) * (0,588)
y = 56 000 + 12 936
y = 68 936 $.
Si une dépense de 55 000 $ était effectuée en août, le revenu était de 68 936 $.
Références
- Arthur Goodman, LH (1996). Algèbre et trigonométrie avec géométrie analytique. Pearson Education.
- Harpe, P. d. (2000). Sujets de la théorie des groupes géométriques. Presse de l'Université de Chicago.
- Hazewinkel, M. (2001). Interpolation linéaire ", Encyclopédie des mathématiques.
- , JM (1998). Éléments de méthodes numériques pour l'ingénierie. UASLP.
- , E. (2002). Une chronologie de l'interpolation: de l'astronomie ancienne au traitement moderne du signal et de l'image. Actes de l'IEEE.
- numérique, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.