IDENTITÉS PYTHAGORICIENNES: DÉMONSTRATION, EXEMPLE, EXERCICES - MATEMATIQUES - 2025

Les identités de Pythagore sont toutes des équations trigonométriques qui valent pour n'importe quelle valeur de l'angle et sont basées sur le théorème de Pythagore. La plus célèbre des identités pythagoriciennes est l'identité trigonométrique fondamentale:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

Figure 1. Identités trigonométriques de Pythagore.

Ensuite en importance et j'utilise l'identité pythagoricienne de la tangente et de la sécante:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α)

Et l'identité trigonométrique de Pythagore impliquant la cotangente et la cosécante:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

Manifestation

Les rapports trigonométriques sinus et cosinus sont représentés sur un cercle de rayon un (1) appelé cercle trigonométrique. Ledit cercle a son centre à l'origine des coordonnées O.

Les angles sont mesurés à partir du demi-axe positif des X, par exemple l'angle α sur la figure 2 (voir ci-dessous). Dans le sens antihoraire si l'angle est positif, et dans le sens horaire s'il s'agit d'un angle négatif.

Le rayon d'origine O et d'angle α est tracé, qui intercepte le cercle unité au point P. Le point P est projeté orthogonalement sur l'axe horizontal X donnant naissance au point C. De même P est projeté perpendiculairement sur l'axe vertical Y donnant place au point S.

Nous avons le triangle rectangle OCP en C.

Sinus et cosinus

Il faut se rappeler que le rapport trigonométrique sinus est défini sur un triangle rectangle comme suit:

Le sinus d'un angle du triangle est le rapport ou quotient entre la jambe opposée à l'angle et l'hypoténuse du triangle.

Appliqué au triangle OCP de la figure 2, cela ressemblerait à ceci:

Sen (α) = CP / OP

mais CP = OS et OP = 1, de sorte que:

Sen (α) = OS

Ce qui signifie que l'OS de projection sur l'axe Y a une valeur égale au sinus de l'angle affiché. Il est à noter que la valeur maximale du sinus d'un angle (+1) se produit lorsque α = 90º et la valeur minimale (-1) lorsque α = -90º ou α = 270º.

Figure 2. Cercle trigonométrique montrant la relation entre le théorème de Pythagore et l'identité trigonométrique fondamentale. (Élaboration propre)

De même, le cosinus d'un angle est le quotient entre la jambe adjacente à l'angle et l'hypoténuse du triangle.

Appliqué au triangle OCP de la figure 2, cela ressemblerait à ceci:

Cos (α) = OC / OP

mais OP = 1, de sorte que:

Cos (α) = OC

Cela signifie que la projection OC sur l'axe X a une valeur égale au sinus de l'angle indiqué. Il convient de noter que la valeur maximale du cosinus (+1) se produit lorsque α = 0º ou α = 360º, tandis que la valeur minimale du cosinus est (-1) lorsque α = 180º.

L'identité fondamentale

Pour le triangle rectangle OCP en C, le théorème de Pythagore est appliqué, qui stipule que la somme du carré des jambes est égale au carré de l'hypoténuse:

CP ² + OC ² = OP ²

Mais on a déjà dit que CP = OS = Sen (α), que OC = Cos (α) et que OP = 1, donc l'expression précédente peut être réécrite en fonction du sinus et du cosinus de l'angle:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

L'axe de la tangente

Tout comme l'axe X dans le cercle trigonométrique est l'axe cosinus et l'axe Y l'axe sinus, de la même manière il y a l'axe tangent (voir figure 3) qui est précisément la ligne tangente au cercle unité au point B de coordonnées (1, 0).

Si vous voulez connaître la valeur de la tangente d'un angle, l'angle est dessiné à partir du demi-axe positif du X, l'intersection de l'angle avec l'axe de la tangente définit un point Q, la longueur du segment OQ est la tangente du angle.

En effet, par définition, la tangente de l'angle α est la branche opposée QB entre la branche adjacente OB. Autrement dit, Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.

Figure 3. Le cercle trigonométrique montrant l'axe de la tangente et l'identité pythagoricienne de la tangente. (Élaboration propre)

L'identité pythagoricienne de la tangente

L'identité pythagoricienne de la tangente peut être prouvée en considérant le triangle rectangle OBQ en B (figure 3). En appliquant le théorème de Pythagore à ce triangle, nous avons que BQ ² + OB ² = OQ ². Mais on a déjà dit que BQ = Tan (α), que OB = 1 et que OQ = Sec (α), de sorte qu'en substituant en égalité de Pythagore au triangle rectangle OBQ on a:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α).

Exemple

Vérifiez si les identités pythagoriciennes sont remplies ou non dans le triangle rectangle des jambes AB = 4 et BC = 3.

Solution: les jambes sont connues, l'hypoténuse doit être déterminée, qui est:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

L'angle ∡BAC sera appelé α, ∡BAC = α. Maintenant, les rapports trigonométriques sont déterminés:

Sen α = BC / AC = 3/5

Cos α = AB / AC = 4/5

Donc α = BC / AB = 3/4

Cotan α = AB / BC = 4/3

Sec α = AC / AB = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

Cela commence par l'identité trigonométrique fondamentale:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

Il est conclu qu'il est rempli.

- La prochaine identité pythagoricienne est celle de la tangente:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

Et on en conclut que l'identité de la tangente est vérifiée.

- De manière similaire à celle de la cotangente:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Il est conclu qu'il est également rempli, avec lequel la tâche de vérification des identités pythagoriciennes pour le triangle donné a été accomplie.

Exercices résolus

Prouvez les identités suivantes, basées sur les définitions des rapports trigonométriques et des identités pythagoriciennes.

Exercice 1

Prouvez que Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).

Solution: Dans la partie droite, on reconnaît le produit notable de la multiplication d'un binôme par son conjugué qui, comme on le sait, est une différence de carrés:

Cos ² x = 1 ² - Sin ² x

Ensuite, le terme avec sinus sur le côté droit passe au côté gauche avec le signe changé:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Notant que l'identité trigonométrique fondamentale a été atteinte, il est donc conclu que l'expression donnée est une identité, c'est-à-dire qu'elle est vraie pour toute valeur de x.

Exercice 2

En partant de l'identité trigonométrique fondamentale et en utilisant les définitions des rapports trigonométriques, démontrez l'identité pythagoricienne de la cosécante.

Solution: L'identité fondamentale est:

Sin ² (x) + Cos ² (x) = 1

Les deux membres sont divisés par Sen ² (x) et le dénominateur est distribué dans le premier membre:

Sin ² (x) / Sin ² (x) + Cos ² (x) / Sin ² (x) = 1 / Sin ² (x)

C'est simplifié:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) est une identité (non pythagoricienne) qui se vérifie par la définition même des rapports trigonométriques. La même chose se produit avec l'identité suivante: 1 / Sen (x) = Csc (x).

Enfin, vous devez:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

Références

1. Baldor J. (1973). Géométrie plane et spatiale avec une introduction à la trigonométrie. Culture d'Amérique centrale. AC
2. CEA (2003). Éléments de géométrie: avec exercices et géométrie de la boussole. Université de Medellin.
3. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Mathématiques 2. Grupo Editorial Patria.
4. IGER. (sf). Mathématiques Premier semestre Tacaná. IGER.
5. Géométrie Jr. (2014). Polygones. Lulu Press, Inc.
6. Miller, Heeren et Hornsby. (2006). Mathématiques: raisonnement et applications (dixième édition). Pearson Education.
7. Patiño, M. (2006). Mathématiques 5. Progreso éditorial.
8. Wikipédia. Identités et formules de trigonométrie. Récupéré de: es.wikipedia.com