HEPTADÉCAGONE: PROPRIÉTÉS, DIAGONALES, PÉRIMÈTRE, AIRE - MATEMATIQUES - 2025

L' heptadécagone est un polygone régulier avec 17 côtés et 17 sommets. Sa construction peut être faite dans le style euclidien, c'est-à-dire en utilisant uniquement la règle et la boussole. C'est le grand génie mathématique Carl Friedrich Gauss (1777-1855), à peine âgé de 18 ans, qui trouva le procédé de sa construction en 1796.

Apparemment, Gauss a toujours été très enclin à cette figure géométrique, à tel point que dès le jour où il a découvert sa construction, il a décidé d'être mathématicien. On dit aussi qu'il voulait que l'heptadécagone soit gravé sur sa pierre tombale.

Figure 1. L'heptadécagone est un polygone régulier avec 17 côtés et 17 sommets. Source: F. Zapata.

Gauss a également trouvé la formule pour déterminer quels polygones réguliers ont la possibilité d'être construits avec une règle et une boussole, car certains n'ont pas de construction euclidienne exacte.

Caractéristiques de l'heptadécagone

Quant à ses caractéristiques, comme tout polygone, la somme de ses angles internes est importante. Dans un polygone régulier à n côtés, la somme est donnée par:

Cette somme, exprimée en radians, ressemble à ceci:

À partir des formules ci-dessus, on peut facilement déduire que chaque angle interne d'un heptadécagone a une mesure exacte α donnée par:

Il s'ensuit que l'angle interne est à peu près:

Diagonales et périmètre

Les diagonales et le périmètre sont d'autres aspects importants. Dans tout polygone, le nombre de diagonales est:

D = n (n - 3) / 2 et dans le cas de l'heptadécagone, comme n = 17, on a alors que D = 119 diagonales.

En revanche, si la longueur de chaque côté de l'heptadécagone est connue, alors le périmètre de l'heptadécagone régulier est trouvé simplement en ajoutant 17 fois cette longueur, ou ce qui équivaut à 17 fois la longueur d de chaque côté:

P = 17 j

Périmètre de l'heptadécagone

Parfois, seul le rayon r de l'heptadécagone est connu, il est donc nécessaire de développer une formule pour ce cas.

À cette fin, le concept d'apothème est introduit. L'apothème est le segment qui va du centre du polygone régulier au milieu d'un côté. L'apothème par rapport à un côté est perpendiculaire à ce côté (voir figure 2).

Figure 2. Les parties d'un polygone régulier de rayon r et son apothème sont représentées. (Élaboration propre)

De plus, l'apothème est la bissectrice de l'angle avec le sommet central et les côtés sur deux sommets consécutifs du polygone, cela permet de trouver une relation entre le rayon r et le côté d.

Si l'angle central DOE est dénommé β et en tenant compte du fait que l'apothème OJ est une bissectrice, on a EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), à partir de laquelle on a une relation pour trouver la longueur d du côté d'un polygone connu son rayon r et son angle central β:

d = 2 r Sen (β / 2)

Dans le cas de l'heptadécagone β = 360º / 17, on a:

d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0,3675 r

Enfin, on obtient la formule du périmètre de l'heptadécagone, connu son rayon:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6,2475 r

Le périmètre d'un heptadécagone est proche du périmètre de la circonférence qui l'entoure, mais sa valeur est plus petite, c'est-à-dire que le périmètre du cercle circonscrit est Pcir = 2π r ≈ 6,2832 r.

Zone

Pour déterminer l'aire de l'heptadécagone, nous nous référerons à la figure 2, qui montre les côtés et l'apothème d'un polygone régulier à n côtés. Sur cette figure, le triangle EOD a une aire égale à la base d (côté du polygone) multipliée par la hauteur a (apothème du polygone) divisée par 2:

Zone EOD = (dxa) / 2

Ainsi, connaissant l'apothème a de l'heptadécagone et le côté d de celui-ci, sa superficie est:

Aire de l'heptadécagone = (17/2) (dxa)

Zone compte tenu du côté

Pour obtenir une formule de l'aire de l'heptadécagone connaissant la longueur de ses dix-sept côtés, il est nécessaire d'obtenir une relation entre la longueur de l'apothème a et le côté d.

En référence à la figure 2, la relation trigonométrique suivante est obtenue:

Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, où β est l'angle central DOE. Ainsi l'apothème a peut être calculé si la longueur d du côté du polygone et l'angle central β sont connus:

a = (d / 2) Cotan (β / 2)

Si cette expression est maintenant substituée à l'apothème, dans la formule de l'aire de l'heptadécagon obtenue dans la section précédente, on a:

Aire de l'heptadécagon = (17/4) (d ²) Cotan (β / 2)

Étant β = 360º / 17 pour l'heptadécagone, on a donc finalement la formule souhaitée:

Aire de l'heptadécagone = (17/4) (d ²) Cotan (180º / 17)

Zone compte tenu du rayon

Dans les sections précédentes, une relation avait été trouvée entre le côté d d'un polygone régulier et son rayon r, cette relation étant la suivante:

d = 2 r Sen (β / 2)

Cette expression pour d est insérée dans l'expression obtenue dans la section précédente pour l'aire. Si les substitutions et simplifications pertinentes sont effectuées, la formule qui permet de calculer l'aire de l'heptadécagone est obtenue:

Aire heptadécagonale = (17/2) (r ²) Sen (β) = (17/2) (r ²) Sen (360º / 17)

Une expression approximative de la zone est:

Surface de l'heptadécagone = 3,0706 (r ²)

Comme prévu, cette aire est légèrement inférieure à l'aire du cercle circonscrivant l'heptadécagone A _circ = π r ² ≈ 3,1416 r ². Pour être précis, il est inférieur de 2% à celui de son cercle circonscrit.

Exemples

Exemple 1

Pour répondre à la question, il est nécessaire de se souvenir de la relation entre le côté et le rayon d'un polygone régulier à n côtés:

d = 2 r Sen (180º / n)

Pour l'heptadécagone n = 17, de sorte que d = 0,3675 r, c'est-à-dire que le rayon de l'heptadécagone est r = 2 cm / 0,3675 = 5,4423 cm ou

10,8844 cm de diamètre.

Le périmètre d'un heptadécagone latéral de 2 cm est P = 17 * 2 cm = 34 cm.

Exemple 2

Il faut se référer à la formule présentée dans la section précédente, qui nous permet de trouver l'aire d'un heptadécagone lorsqu'il a la longueur d de son côté:

Surface de l'heptadécagone = (17/4) (d ²) / Tan (180 ° / 17)

En substituant d = 2 cm dans la formule précédente, on obtient:

Superficie = 90,94 cm

Références

1. CEA (2003). Éléments de géométrie: avec exercices et géométrie de la boussole. Université de Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Mathématiques 2. Grupo Editorial Patria.
3. Libéré, K. (2007). Découvrez les polygones. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Polygones généralisés. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Mathématiques Premier semestre Tacaná. IGER.
6. Géométrie Jr. (2014). Polygones. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren et Hornsby. (2006). Mathématiques: raisonnement et applications (dixième édition). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Mathématiques 5. Progreso éditorial.
9. Sada, M. Polygone régulier à 17 côtés avec règle et boussole. Récupéré de: geogebra.org
10. Wikipédia. Heptadécagon. Récupéré de: es.wikipedia.com