- Exemples de degré d'un polynôme
- Tableau 1. Exemples de polynômes et leurs degrés
- Procédure pour travailler avec des polynômes
- Ordonner, réduire et compléter un polynôme
- Importance du degré d'un polynôme en addition et soustraction
- Exercices résolus
- - Exercice résolu 1
- Solution
- - Exercice résolu 2
- Solution
- Références
Le degré d'un polynôme dans une variable est donné par le terme qui a le plus grand exposant, et si le polynôme a deux variables ou plus, alors le degré est déterminé par la somme des exposants de chaque terme, la plus grande somme étant le degré du polynôme.
Voyons comment déterminer le degré du polynôme de manière pratique.
Figure 1. La célèbre équation d'Einstein pour l'énergie E est un monôme de degré absolu 1 pour la masse variable, notée m, puisque la vitesse de la lumière c est considérée comme constante. Source: Piqsels.
Supposons le polynôme P (x) = -5x + 8x 3 + 7 - 4x 2. Ce polynôme est une variable, dans ce cas c'est la variable x. Ce polynôme se compose de plusieurs termes, qui sont les suivants:
Et maintenant quel est l'exposant? La réponse est 3. Par conséquent P (x) est un polynôme de degré 3.
Si le polynôme en question a plus d'une variable, alors le degré peut être:
-Absolu
-En relation avec une variable
Le degré absolu se trouve comme expliqué au début: addition des exposants de chaque terme et sélection du plus grand.
Au lieu de cela, le degré du polynôme par rapport à l'une des variables ou lettres est la plus grande valeur de l'exposant que ladite lettre a. Le point deviendra plus clair avec les exemples et les exercices résolus dans les sections suivantes.
Exemples de degré d'un polynôme
Les polynômes peuvent être classés par degré, et peuvent être du premier degré, du deuxième degré, du troisième degré, etc. Pour l'exemple de la figure 1, l'énergie est un monôme de premier degré pour la masse.
Il est également important de noter que le nombre de termes d'un polynôme est égal au degré plus 1. Ainsi:
-Les polynômes du premier degré ont 2 termes: a 1 x + a o
-Le polynôme du deuxième degré a 3 termes: a 2 x 2 + a 1 x + a o
-Un polynôme du troisième degré a 4 termes: a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a ou
Et ainsi de suite. Le lecteur attentif aura remarqué que les polynômes des exemples précédents sont écrits sous forme décroissante, c'est-à-dire en plaçant le terme avec le plus grand degré en premier.
Le tableau suivant montre différents polynômes, à la fois d'une et de plusieurs variables et leurs degrés absolus respectifs:
Tableau 1. Exemples de polynômes et leurs degrés
| Polynôme | degré |
|---|---|
| 3x 4 + 5x 3 -2x + 3 | 4 |
| 7x 3 -2x 2 + 3x-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| x-1 | une |
| x 5 -bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2 | 6 |
| 3x 3 et 5 + 5x 2 et 4 - 7xy 2 + 6 | 8 |
Les deux derniers polynômes ont plus d'une variable. Parmi ceux-ci, le terme avec le degré absolu le plus élevé a été mis en évidence en gras, afin que le lecteur puisse vérifier rapidement le degré. Il est important de se rappeler que lorsque la variable n'a pas d'exposant écrit, il est entendu que ledit exposant est égal à 1.
Par exemple, dans le terme en surbrillance ab 3 x 2, il y a trois variables, à savoir: a, b et x. Dans ce terme, a est élevé à 1, c'est-à-dire:
a = a 1
Donc ab 3 x 2 = a 1 b 3 x 2
Puisque l'exposant de b est 3 et celui de x est 2, il s'ensuit immédiatement que le degré de ce terme est:
1 + 3 + 2 = 6
Y est le degré absolu du polynôme, car aucun autre terme n'a un degré plus élevé.
Procédure pour travailler avec des polynômes
Lorsque vous travaillez avec des polynômes, il est important de faire attention à son degré, car d'abord et avant d'effectuer toute opération, il est pratique de suivre ces étapes, dans lesquelles le degré fournit des informations très importantes:
-Ordre le polynôme de préférence dans le sens décroissant. Ainsi, le terme avec le degré le plus élevé est à gauche et le terme avec le degré le plus bas est à droite.
-Réduire des termes similaires, une procédure qui consiste à ajouter algébriquement tous les termes de la même variable et degré trouvés dans l'expression.
-Si nécessaire, les polynômes sont complétés, en insérant des termes dont le coefficient est 0, au cas où il manquerait des termes avec un exposant.
Ordonner, réduire et compléter un polynôme
Compte tenu du polynôme P (x) = 6x 2 - 5x 4 - 2x + 3x + 7 + 2x 5 - 3x 3 + x 7 -12, il est demandé à l' ordre dans l' ordre décroissant, réduire les termes semblables, le cas échéant, et compléter les termes manquants. si précis.
La première chose à rechercher est le terme avec le plus grand exposant, qui est le degré du polynôme, qui s'avère être:
x 7
Donc P (x) est de degré 7. Ensuite, le polynôme est ordonné, en commençant par ce terme à gauche:
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 2x + 3x + 7-12
Maintenant, les termes similaires sont réduits, qui sont les suivants: - 2x et 3x d'une part. Et 7 et -12 de l'autre. Pour les réduire, les coefficients sont ajoutés algébriquement et la variable reste inchangée (si la variable n'apparaît pas à côté du coefficient, rappelez-vous que x 0 = 1):
-2x + 3x = x
7 -12 = -5
Remplacez ces résultats par P (x):
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x -5
Et enfin le polynôme est examiné pour voir s'il manque un exposant et en effet, un terme dont l'exposant est 6 est manquant, donc il est complété par des zéros comme ceci:
P (x) = x 7 + 0x 6 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x - 5
On observe maintenant que le polynôme a été laissé avec 8 termes, car comme dit précédemment, le nombre de termes est égal au degré + 1.
Importance du degré d'un polynôme en addition et soustraction
Avec les polynômes, vous pouvez effectuer des opérations d'addition et de soustraction, dans lesquelles seuls des termes similaires sont ajoutés ou soustraits, qui sont ceux avec la même variable et le même degré. S'il n'y a pas de termes similaires, l'addition ou la soustraction est simplement indiquée.
Une fois l'addition ou la soustraction effectuée, cette dernière étant la somme du contraire, le degré du polynôme résultant est toujours égal ou inférieur au degré du polynôme additionnant le degré le plus élevé.
Exercices résolus
- Exercice résolu 1
Trouvez la somme suivante et déterminez son degré absolu:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3
Solution
C'est un polynôme à deux variables, il est donc pratique de réduire les termes similaires:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3 =
= a 3 + 3a 3 + a 3 - 8ax 2 - 6ax 2 + 14ax 2 + 5a 2 x - 5a 2 x + x 3 - x 3 - x 3 - x 3 =
= 5a 3 - 2x 3
Les deux termes sont de degré 3 dans chaque variable. Par conséquent, le degré absolu du polynôme est 3.
- Exercice résolu 2
Exprimez l'aire de la figure géométrique plane suivante sous forme de polynôme (figure 2 à gauche). Quel est le degré du polynôme résultant?
Figure 2. A gauche, la figure de l'exercice résolu 2 et à droite, la même figure décomposée en trois zones dont l'expression est connue. Source: F. Zapata.
Solution
Puisqu'il s'agit d'une aire, le polynôme résultant doit être de degré 2 dans la variable x. Pour déterminer une expression appropriée pour la zone, la figure est décomposée en zones connues:
L'aire d'un rectangle et d'un triangle sont respectivement: base x hauteur et base x hauteur / 2
Un 1 = x. 3x = 3x 2; Un 2 = 5. x = 5x; Un 3 = 5. (2x / 2) = 5x
Remarque: la base du triangle est 3x - x = 2x et sa hauteur est 5.
Maintenant, les trois expressions obtenues sont ajoutées, avec cela nous avons l'aire de la figure en fonction de x:
3x 2 + 5x + 5x = 3x 2 + 10x
Références
- Baldor, A. 1974. Algèbre élémentaire. Cultural Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
- Wikibooks. Polynômes. Récupéré de: es. wikibooks.org.
- Wikipédia. Degré (polynôme). Récupéré de: es.wikipedia.org.
- Zill, D. 1984. Algèbre et trigonométrie. Mac Graw Hill.