FONCTIONS TRANSCENDANTES: TYPES, DÉFINITION, PROPRIÉTÉS, EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2025

Les fonctions transcendantales élémentaires sont les fonctions exponentielles, logarithmiques, trigonométriques, trigonométriques inverses, hyperboliques et hyperboliques inverses. Autrement dit, ce sont ceux qui ne peuvent pas être exprimés au moyen d'un polynôme, d'un quotient de polynômes ou de racines de polynômes.

Les fonctions transcendantes non élémentaires sont également appelées fonctions spéciales et parmi elles, la fonction d'erreur peut être nommée. Les fonctions algébriques (polynômes, quotients de polynômes et racines de polynômes) ainsi que les fonctions transcendantales élémentaires constituent ce que l'on appelle en mathématiques des fonctions élémentaires.

Les fonctions transcendantes sont également considérées comme celles qui résultent d'opérations entre des fonctions transcendantes ou entre des fonctions transcendantes et algébriques. Ces opérations sont: la somme et la différence des fonctions, le produit et le quotient des fonctions, ainsi que la composition de deux ou plusieurs fonctions.

Définition et propriétés

Fonction exponentielle

C'est une fonction réelle de variable indépendante réelle de la forme:

f (x) = a ^ x = a ^x

où a est un nombre réel positif fixe (a> 0) appelé la base. Les circonflexes ou exposants sont utilisés pour désigner l'opération de potentialisation.

Disons a = 2 alors la fonction ressemble à ceci:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

Qui sera évalué pour plusieurs valeurs de la variable indépendante x:

Ci-dessous, un graphique où la fonction exponentielle est représentée pour plusieurs valeurs de la base, y compris la base e (nombre de Neper e ≃ 2,72). La base e est si importante qu'en général parlant d'une fonction exponentielle, on pense à e ^ x, qui est également notée exp (x).

Figure 1. Fonction exponentielle a ^ x, pour différentes valeurs de la base a. (Élaboration propre)

Propriétés de la fonction exponentielle

À partir de la figure 1, on peut observer que le domaine des fonctions exponentielles sont les nombres réels (Dom f = R) et la plage ou le chemin est les réels positifs (Ran f = R ⁺).

Par contre, quelle que soit la valeur de la base a, toutes les fonctions exponentielles passent par le point (0, 1) et par le point (1, a).

Lorsque la base a> 1, alors la fonction augmente et lorsque 0 <a <1 la fonction diminue.

Les courbes de y = a ^ x et y = (1 / a) ^ x sont symétriques par rapport à l'axe Y.

A l'exception du cas a = 1, la fonction exponentielle est injective, c'est-à-dire qu'à chaque valeur de l'image correspond une et une seule valeur de départ.

Fonction logarithmique

C'est une fonction réelle de variable indépendante réelle basée sur la définition du logarithme d'un nombre. Le logarithme basé sur un nombre x est le nombre y auquel la base doit être élevée pour obtenir l'argument x:

log _a (x) = y ⇔ a ^ y = x

Autrement dit, la fonction logarithme basée sur est la fonction inverse de la fonction exponentielle basée sur.

Par exemple:

log ₂ 1 = 0, puisque 2 ^ 0 = 1

Un autre cas, log ₂ 4 = 2, car 2 ^ 2 = 4

Le logarithme racine de 2 est log ₂ √2 = ½, car 2 ^ ½ = √2

log ₂ ¼ = -2, puisque 2 ^ (- 2) = ¼

Voici un graphique de la fonction logarithme dans diverses bases.

Figure 2. Fonction exponentielle pour différentes valeurs de la base. (Élaboration propre)

Propriétés de la fonction logarithme

Le domaine de la fonction logarithme y (x) = log a (x) sont les nombres réels positifs R +. La gamme de Voyage ou sont des nombres réels R.

Quelle que soit la base, la fonction logarithme passe toujours par le point (1,0) et le point (a, 1) appartient au graphe de cette fonction.

Dans le cas où la base a est supérieure à l'unité (a> 1), la fonction logarithme augmente. Mais si (0 <a <1) alors c'est une fonction décroissante.

Fonctions sinus, cosinus et tangente

La fonction sinus attribue un nombre réel et à chaque valeur x, où x représente la mesure d'un angle en radians. Pour obtenir la valeur du Sen (x) d'un angle, l'angle est représenté dans le cercle unitaire et la projection dudit angle sur l'axe vertical est le sinus correspondant à cet angle.

Le cercle trigonométrique et le sinus pour différentes valeurs angulaires X1, X2, X3 et X4 sont indiqués ci-dessous (sur la figure 3).

Figure 3. Cercle trigonométrique et sinus de divers angles. (Élaboration propre)

Définie de cette manière, la valeur maximale que peut avoir la fonction Sen (x) est 1, ce qui se produit lorsque x = π / 2 + 2π n, où n est un entier (0, ± 1, ± 2,). La valeur minimale que la fonction Sen (x) peut prendre se produit lorsque x = 3π / 2 + 2π n.

La fonction cosinus y = Cos (x) est définie de manière similaire, mais la projection des positions angulaires P1, P2, etc. est réalisée sur l'axe horizontal du cercle trigonométrique.

Par contre, la fonction y = Tan (x) est le quotient entre la fonction sinus et la fonction cosinus.

Ci-dessous, un graphique des fonctions transcendantes Sen (x), Cos (x) et Tan (x)

Figure 4. Graphique des fonctions transcendantes, sinus, cosinus et tangente. (Élaboration propre)

Dérivés et intégrales

Dérivée de la fonction exponentielle

La dérivée y 'de la fonction exponentielle y = a ^ x est la fonction a ^ x multipliée par le logarithme naturel de la base a:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

Dans le cas particulier de la base e, la dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même.

Intégrale de la fonction exponentielle

L'intégrale indéfinie de a ^ x est la fonction elle-même divisée par le logarithme naturel de la base.

Dans le cas particulier de la base e, l'intégrale de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même.

Tableau des dérivées et intégrales des fonctions transcendantes

Voici un tableau récapitulatif des principales fonctions transcendantes, leurs dérivées et intégrales indéfinies (primitives):

Tableau des dérivées et intégrales indéfinies pour certaines fonctions transcendantes. (Élaboration propre)

Exemples

Exemple 1

Trouvez la fonction issue de la composition de la fonction f (x) = x ^ 3 avec la fonction g (x) = cos (x):

(brouillard) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

Sa dérivée et son intégrale indéfinie sont:

Exemple 2

Trouvez la composition de la fonction g avec la fonction f, où g et f sont les fonctions définies dans l'exemple précédent:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³)

Il est à noter que la composition des fonctions n'est pas une opération commutative.

La dérivée et l'intégrale indéfinie de cette fonction sont respectivement:

L'intégrale a été laissée indiquée car il n'est pas possible d'écrire exactement le résultat comme une combinaison de fonctions élémentaires.

Références

1. Calcul d'une variable unique. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 novembre 2008
2. Le théorème des fonctions implicites: histoire, théorie et applications. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9 novembre. 2012
3. Analyse multivariée. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 décembre. 2010
4. Dynamique des systèmes: modélisation, simulation et contrôle des systèmes mécatroniques. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 mars 2012
5. Calcul: mathématiques et modélisation. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 janv. 1999
6. Wikipédia. Fonction transcendante. Récupéré de: es.wikipedia.com