Une fonction surjective est toute relation où chaque élément appartenant au codomaine est une image d'au moins un élément du domaine. Également appelées fonction d' enveloppe, elles font partie de la classification des fonctions en ce qui concerne la manière dont leurs éléments sont liés.

Par exemple une fonction F: A → B définie par F (x) = 2x

Ce qui se lit " F qui va de A à B défini par F (x) = 2x"

Vous devez définir les jeux de départ et de finition A et B.

R: {1, 2, 3, 4, 5} Maintenant, les valeurs ou images que chacun de ces éléments donnera une fois évalué en F seront les éléments du codomaine.

F (1) = 2

F (2) = 4

F (3) = 6

F (4) = 8

F (5) = 10

Formant ainsi l'ensemble B: {2, 4, 6, 8, 10}

On peut alors conclure que:

F: {1, 2, 3, 4, 5} → {2, 4, 6, 8, 10} défini par F (x) = 2x C'est une fonction surjective

Chaque élément du codomaine doit résulter d'au moins une opération de la variable indépendante à travers la fonction en question. Il n'y a pas de limitation des images, un élément du codomaine peut être une image de plus d'un élément du domaine et essayer toujours une fonction surjective.

Dans l'image, 2 exemples avec des fonctions surjectives sont présentés.

Source: auteur

Dans le premier, on observe que les images peuvent être référées au même élément, sans compromettre la surjectivité de la fonction.

Dans le second, on observe une répartition équitable entre le domaine et les images. Cela donne lieu à la fonction bijective, où les critères de fonction injective et de fonction surjective doivent être remplis .

Une autre méthode pour identifier les fonctions surjectives consiste à vérifier si le codomaine est égal au rang de la fonction. Cela signifie que si l'ensemble d'arrivée est égal aux images fournies par la fonction lors de l'évaluation de la variable indépendante, la fonction est surjective.

Propriétés

Pour considérer une fonction surjective, les conditions suivantes doivent être remplies:

Soit F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

C'est la manière algébrique d'établir que pour tout «b» qui appartient à C _f il y a un «a» qui appartient à D _f tel que la fonction F évaluée en «a» est égale à «b».

La surjectivité est une particularité des fonctions, où le codomaine et la gamme sont similaires. Ainsi, les éléments évalués dans la fonction constituent l'ensemble d'arrivée.

Conditionnement fonctionnel

Parfois, une fonction non surjective peut être soumise à certaines conditions. Ces nouvelles conditions peuvent en faire une fonction surjective.

Toutes sortes de modifications du domaine et du codomaine de la fonction sont valides, l'objectif étant de remplir les propriétés de surjectivité dans la relation correspondante.

Exemples: exercices résolus

Pour répondre aux conditions de surjectivité, différentes techniques de conditionnement doivent être appliquées, ceci afin de s'assurer que chaque élément du codomaine est dans l'ensemble des images de la fonction.

Exercice 1

• Soit la fonction F: R → R définie par la ligne F (x) = 8 - x

UNE:

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Dans ce cas, la fonction décrit une ligne continue, qui inclut tous les nombres réels dans son domaine et sa plage. Puisque le domaine de la fonction R _f est égal au codomaine R, on peut conclure que:

F: R → R défini par la ligne F (x) = 8 - x est une fonction surjective.

Ceci s'applique à toutes les fonctions linéaires (fonctions dont le degré le plus élevé de la variable est un).

Exercice 2

• Etudiez la fonction F: R → R définie par F (x) = x ²: Définissez s'il s'agit d'une fonction surjective. Sinon, montrez les conditions nécessaires pour le rendre surjectif.

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La première chose à prendre en compte est le codomaine de F, qui est composé des nombres réels R. Il n'y a aucun moyen pour la fonction de donner des valeurs négatives, ce qui exclut les réels négatifs des images possibles.

Conditionnement du codomain à l'intervalle. Il est évité de laisser des éléments du codomain non liés par F.

Les images sont répétées pour des paires d'éléments de la variable indépendante, telles que x = 1 et x = - 1. Mais cela n'affecte que l' injectivité de la fonction, ne posant pas de problème pour cette étude.

De cette manière, on peut conclure que:

F: R → . Cet intervalle doit conditionner le codomaine pour atteindre la surjectivité de la fonction.

F: R → défini par F (x) = Sen (x) C'est une fonction surjective

F: R → défini par F (x) = Cos (x) C'est une fonction surjective

Exercice 4

• Etudiez la fonction

F:).push ({});

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La fonction F (x) = ± √x a la particularité de définir 2 variables dépendantes à chaque valeur de "x". Autrement dit, la plage reçoit 2 éléments pour chacun d'entre eux qui est créé dans le domaine. Une valeur positive et négative doit être vérifiée pour chaque valeur de «x».

Lors de l'observation de l'ensemble de départ, on constate que le domaine a déjà été restreint, ceci afin d'éviter les indéterminations produites lors de l'évaluation d'un nombre négatif dans une racine paire.

Lors de la vérification de la plage de la fonction, on note que chaque valeur du codomaine appartient à la plage.

De cette manière, on peut conclure que:

F: [0, ∞) → R défini par F (x) = ± √x C'est une fonction surjective

Exercice 4

• Etudiez la fonction F (x) = Ln x dénoter si c'est une fonction surjective. Conditionnez les ensembles d'arrivée et de départ pour adapter la fonction aux critères de surjectivité.

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Comme le montre le graphique, la fonction F (x) = Ln x est définie pour les valeurs de "x" supérieures à zéro. Alors que les valeurs de "et" ou les images peuvent prendre n'importe quelle valeur réelle.

De cette façon, nous pouvons restreindre le domaine de F (x) = à l'intervalle (0, ∞)

Tant que la plage de la fonction peut être conservée comme l'ensemble des nombres réels R.

Compte tenu de cela, on peut conclure que:

F: [0, ∞) → R défini par F (x) = Ln x C'est une fonction surjective

Exercice 5

• Etudiez la fonction valeur absolue F (x) = - x - et désignez les ensembles d'arrivée et de départ qui répondent aux critères de surjectivité.

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Le domaine de la fonction est rempli pour tous les nombres réels R. De cette manière, le seul conditionnement doit être effectué dans le codomaine, en tenant compte du fait que la fonction valeur absolue ne prend que des valeurs positives.

On procède à établir le codomaine de la fonction égal au rang de la même

[0, ∞)

Maintenant, on peut conclure que:

F: [0, ∞) → R défini par F (x) = - x - C'est une fonction surjective

Exercices proposés

1. Vérifiez si les fonctions suivantes sont surjectives:

• F: (0, ∞) → R défini par F (x) = Log (x + 1)
• F: R → R défini par F (x) = x ³
• F: R → [1, ∞) défini par F (x) = x ² + 1
• [0, ∞) → R défini par F (x) = Log (2x + 3)
• F: R → R défini par F (x) = Sec x
• F: R - {0} → R défini par F (x) = 1 / x

Références

1. Introduction à la logique et à la pensée critique. Merrilee H. Salmon. Université de Pittsburgh
2. Problèmes en analyse mathématique. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Université de Wroclaw. Pologne.
3. Éléments d'analyse abstraite. Mícheál O'Searcoid PhD. Département de mathématiques. Collège universitaire de Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Introduction à la logique et à la méthodologie des sciences déductives. Alfred Tarski, New York Oxford. Presse de l'Université d'Oxford.
5. Principes de l'analyse mathématique. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelone Espagne.