FONCTION INJECTIVE: QU'EST-CE QUE C'EST, À QUOI ÇA SERT ET EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2025

Une fonction injective est toute relation d'éléments du domaine avec un seul élément du codomaine. Également appelées fonction un -à-un (1 - 1), elles font partie de la classification des fonctions en ce qui concerne la façon dont leurs éléments sont liés.

Un élément du codomaine ne peut être que l'image d'un seul élément du domaine, de cette manière les valeurs de la variable dépendante ne peuvent pas être répétées.

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Un exemple clair serait de regrouper les hommes ayant des emplois dans le groupe A et dans le groupe B tous les patrons. La fonction F sera celle qui associe chaque ouvrier à son patron. Si chaque travailleur est associé à un patron différent via F, alors F sera une fonction injective.

Pour considérer une fonction injective, les conditions suivantes doivent être remplies:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁) ≠ F (x ₂)

C'est la manière algébrique de dire: Pour chaque x ₁ différent de x _2, nous avons un F (x ₁) différent de F (x ₂).

À quoi servent les fonctions d'injection?

L'injectivité est une propriété des fonctions continues, puisqu'elles assurent l'affectation d'images pour chaque élément du domaine, aspect essentiel dans la continuité d'une fonction.

Lorsque vous tracez une ligne parallèle à l'axe X sur le graphique d'une fonction injective, le graphique ne doit être touché qu'en un seul point, quelle que soit la hauteur ou l'amplitude de Y de la ligne. C'est la manière graphique de tester l'injectivité d'une fonction.

Une autre façon de tester si une fonction est injective est de résoudre la variable indépendante X en fonction de la variable dépendante Y. Ensuite, il faut vérifier si le domaine de cette nouvelle expression contient les nombres réels, en même temps que pour chaque valeur de Y il y a une seule valeur de X.

Les fonctions ou relations d'ordre obéissent, entre autres, à la notation F: D _f → C _f

Que lit-on F qui va de D _f à C _f

Où la fonction F relie les ensembles Domaine et Codomaine. Aussi connu comme le jeu de départ et le jeu de finition.

Le domaine D _f contient les valeurs autorisées pour la variable indépendante. Le codomaine C _f est constitué de toutes les valeurs disponibles pour la variable dépendante. Les éléments de C _f liés à D _f sont connus sous le nom de Range de la fonction (R _f).

Conditionnement fonctionnel

Parfois, une fonction non injective peut être soumise à certaines conditions. Ces nouvelles conditions peuvent en faire une fonction injective. Toutes sortes de modifications du domaine et du codomaine de la fonction sont valides, l'objectif étant de remplir les propriétés d'injectivité dans la relation correspondante.

Exemples de fonctions d'injection avec exercices résolus

Exemple 1

Soit la fonction F: R → R définie par la ligne F (x) = 2x - 3

UNE:

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On observe que pour chaque valeur du domaine il y a une image dans le codomaine. Cette image est unique ce qui fait de F une fonction injective. Ceci s'applique à toutes les fonctions linéaires (fonctions dont le degré le plus élevé de la variable est un).

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Exemple 2

Soit la fonction F: R → R définie par F (x) = x ² +1

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Lors du tracé d'une ligne horizontale, on observe que le graphique se trouve à plus d'une occasion. De ce fait, la fonction F n'est pas injective tant que R → R est défini

Nous procédons à conditionner le domaine de la fonction:

F: R ⁺ U {0} → R

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Maintenant, la variable indépendante ne prend pas de valeurs négatives, de cette manière la répétition des résultats est évitée et la fonction F: R ⁺ U {0} → R définie par F (x) = x ² + 1 est injective.

Une autre solution homologue serait de limiter le domaine à gauche, c'est-à-dire de restreindre la fonction à ne prendre que des valeurs négatives et nulles.

Nous procédons à conditionner le domaine de la fonction

F: R ^- U {0} → R

Source: auteur

Maintenant, la variable indépendante ne prend pas de valeurs négatives, de cette façon la répétition des résultats est évitée et la fonction F: R ^- U {0} → R définie par F (x) = x ² + 1 est injective.

Les fonctions trigonométriques ont des comportements en forme d'onde, où il est très courant de trouver des répétitions de valeurs dans la variable dépendante. Grâce à un conditionnement spécifique, basé sur la connaissance préalable de ces fonctions, nous pouvons restreindre le domaine pour répondre aux conditions d'injectivité.

Exemple 3

Soit la fonction F: → R définie par F (x) = Cos (x)

Dans l'intervalle, la fonction cosinus varie ses résultats entre zéro et un.

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Comme on peut le voir sur le graphique. Il part de zéro à x = - π / 2, puis atteint un maximum à zéro. C'est après x = 0 que les valeurs commencent à se répéter, jusqu'à ce qu'elles reviennent à zéro à x = π / 2. De cette manière, on sait que F (x) = Cos (x) n'est pas injectif pour l'intervalle.

Lors de l'étude du graphe de la fonction F (x) = Cos (x), on observe des intervalles où le comportement de la courbe s'adapte aux critères d'injectivité. Tels que l'intervalle

Où la fonction varie résulte de 1 à -1, sans répéter aucune valeur dans la variable dépendante.

De cette manière, la fonction fonction F: → R définie par F (x) = Cos (x). C'est injectif

Il existe des fonctions non linéaires où des cas similaires se produisent. Pour les expressions de type rationnel, où le dénominateur contient au moins une variable, il existe des restrictions qui empêchent l'injectivité de la relation.

Exemple 4

Soit la fonction F: R → R définie par F (x) = 10 / x

La fonction est définie pour tous les nombres réels sauf {0} qui a une indétermination (elle ne peut pas être divisée par zéro) .

Lorsque la variable dépendante s'approche de zéro à partir de la gauche, elle prend de très grandes valeurs négatives, et immédiatement après zéro, les valeurs de la variable dépendante prennent de grandes valeurs positives.

Cette perturbation rend l'expression F: R → R définie par F (x) = 10 / x

Ne soyez pas injectif.

Comme on le voit dans les exemples précédents, l'exclusion des valeurs dans le domaine sert à «réparer» ces indéterminations. Nous procédons à exclure zéro du domaine, laissant les ensembles de départ et de finition définis comme suit:

R - {0} → R

Où R - {0} symbolise les réels sauf pour un ensemble dont le seul élément est zéro.

De cette manière, l'expression F: R - {0} → R définie par F (x) = 10 / x est injective.

Exemple 5

Soit la fonction F: → R définie par F (x) = Sen (x)

Dans l'intervalle, la fonction sinus varie ses résultats entre zéro et un.

Source: auteur.

Comme on peut le voir sur le graphique. Il part de zéro à x = 0 puis atteint un maximum à x = π / 2. C'est après x = π / 2 que les valeurs commencent à se répéter, jusqu'à ce qu'elles reviennent à zéro à x = π. De cette façon, on sait que F (x) = Sen (x) n'est pas injectif pour l'intervalle.

Lors de l'étude du graphe de la fonction F (x) = Sen (x), on observe des intervalles où le comportement de la courbe s'adapte aux critères d'injectivité. Tels que l'intervalle

Où la fonction varie résulte de 1 à -1, sans répéter aucune valeur dans la variable dépendante.

De cette façon, la fonction F: → R définie par F (x) = Sen (x). C'est injectif

Exemple 6

Vérifier si la fonction F: → R définie par F (x) = Tan (x)

F: → R défini par F (x) = Cos (x + 1)

F: R → R défini par la ligne F (x) = 7x + 2

Références

1. Introduction à la logique et à la pensée critique. Merrilee H. Salmon. Université de Pittsburgh
2. Problèmes en analyse mathématique. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Université de Wroclaw. Pologne.
3. Éléments d'analyse abstraite. Mícheál O'Searcoid PhD. Département de mathématiques. Collège universitaire de Dublin, Beldfield, Dublind 4.
4. Introduction à la logique et à la méthodologie des sciences déductives. Alfred Tarski, New York Oxford. Presse de l'Université d'Oxford.
5. Principes de l'analyse mathématique. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelone Espagne.