FONCTION BIJECTIVE: QU'EST-CE QUE C'EST, COMMENT EST-CE FAIT, EXEMPLES, EXERCICES - MATEMATIQUES - 2025

Une fonction bijective est celle qui remplit la double condition d'être injective et surjective. Autrement dit, tous les éléments du domaine ont une seule image dans le codomain, et à son tour le codomain est égal au rang de la fonction (R _f).

Il est réalisé en considérant une relation univoque entre les éléments du domaine et du codomaine. Un exemple simple est la fonction F: R → R définie par la ligne F (x) = x

Source: auteur

On observe que pour chaque valeur du domaine ou de l'ensemble de départ (les deux termes s'appliquent également), il y a une seule image dans le codomain ou l'ensemble d'arrivée. De plus, il n'y a aucun élément du codomaine autre que l'image.

De cette façon F: R → R défini par la droite F (x) = x est bijective

Comment faites-vous une fonction bijective?

Pour y répondre, il faut être clair sur les concepts relatifs à l' injectivité et à la surjectivité d'une fonction, ainsi que les critères de conditionnement des fonctions afin de les adapter aux exigences.

Injectivité d'une fonction

Une fonction est injective lorsque chacun des éléments de son domaine est lié à un seul élément du codomaine. Un élément du codomaine ne peut être que l'image d'un seul élément du domaine, de cette manière les valeurs de la variable dépendante ne peuvent pas être répétées.

Pour considérer une fonction injective, les conditions suivantes doivent être remplies:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁) ≠ F (x ₂)

Surjectivité d'une fonction

Une fonction est classée comme surjective si chaque élément de son codomaine est une image d'au moins un élément du domaine.

Pour considérer une fonction surjective, les conditions suivantes doivent être remplies:

Soit F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

C'est la manière algébrique d'établir que pour tout «b» qui appartient à C _f, il existe un «a» qui appartient à D _f tel que la fonction évaluée dans «a» est égale à «b».

Conditionnement fonctionnel

Parfois, une fonction qui n'est pas bijective peut être soumise à certaines conditions. Ces nouvelles conditions peuvent en faire une fonction bijective. Toutes sortes de modifications du domaine et du codomaine de la fonction sont valides, l'objectif étant de remplir les propriétés d'injectivité et de surjectivité dans la relation correspondante.

Exemples: exercices résolus

Exercice 1

Soit la fonction F: R → R définie par la droite F (x) = 5x +1

UNE:

On observe que pour chaque valeur du domaine il y a une image dans le codomaine. Cette image est unique ce qui fait de F une fonction injective. De la même manière, on observe que le codomaine de la fonction est égal à son rang. Remplissant ainsi la condition de surjectivité.

Étant à la fois injectif et surjectif, nous pouvons conclure que

F: R → R défini par la ligne F (x) = 5x +1 est une fonction bijective.

Ceci s'applique à toutes les fonctions linéaires (fonctions dont le degré le plus élevé de la variable est un).

Exercice 2

Soit la fonction F: R → R définie par F (x) = 3x ² - 2

Lors du tracé d'une ligne horizontale, on observe que le graphique se trouve à plus d'une occasion. De ce fait, la fonction F n'est pas injective et donc elle ne sera pas bijective tant qu'elle est définie dans R → R

De même, il existe des valeurs de codomaine qui ne sont des images d'aucun élément du domaine. De ce fait, la fonction n'est pas surjective, ce qui mérite également de conditionner l'ensemble d'arrivée.

Nous procédons à conditionner le domaine et le codomaine de la fonction

F: →

Où l'on observe que le nouveau domaine couvre les valeurs de zéro à l'infini positif. Éviter la répétition des valeurs qui affectent l'injectivité.

De même, le codomain a été modifié, en comptant de "-2" à l'infini positif, en éliminant du codomain les valeurs qui ne correspondaient à aucun élément du domaine

De cette manière, on peut garantir que F : → défini par F (x) = 3x ² - 2

C'est bijectif

Exercice 3

Soit la fonction F: R → R définie par F (x) = Sen (x)

Dans l'intervalle, la fonction sinus varie ses résultats entre zéro et un.

Source: auteur.

La fonction F ne correspond pas aux critères d'injectivité et de surjectivité, car les valeurs de la variable dépendante sont répétées à chaque intervalle de π. De plus, les termes du codomaine en dehors de l'intervalle ne sont une image d'aucun élément du domaine.

Lors de l'étude du graphe de la fonction F (x) = Sen (x), on observe des intervalles où le comportement de la courbe répond aux critères de bijectivité. Comme par exemple l'intervalle D _f = pour le domaine. Et C _f = pour le codomaine.

Où la fonction varie résulte de 1 à -1, sans répéter aucune valeur dans la variable dépendante. Et en même temps le codomaine est égal aux valeurs adoptées par l'expression Sen (x)

Ainsi la fonction F: → définie par F (x) = Sen (x). C'est bijectif

Exercice 4

Énoncez les conditions nécessaires pour D _f et C _f. Donc l'expression

F (x) = -x ² soit bijectif.

Source: auteur

La répétition des résultats est observée lorsque la variable prend des valeurs opposées:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

Le domaine est conditionné, le limitant au côté droit de la ligne réelle.

D _f =

De la même manière, on observe que la portée de cette fonction est l'intervalle qui, en agissant comme un codomaine, remplit les conditions de surjectivité.

De cette façon, nous pouvons conclure que

L'expression F: → définie par F (x) = -x ² Elle est bijective

Exercices proposés

Vérifiez si les fonctions suivantes sont bijectives:

F: → R défini par F (x) = 5ctg (x)

F: → R défini par F (x) = Cos (x - 3)

F: R → R défini par la ligne F (x) = -5x + 4

Références

1. Introduction à la logique et à la pensée critique. Merrilee H. Salmon. Université de Pittsburgh
2. Problèmes en analyse mathématique. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Université de Wroclaw. Pologne.
3. Éléments d'analyse abstraite. Mícheál O'Searcoid PhD. Département de mathématiques. Collège universitaire de Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Introduction à la logique et à la méthodologie des sciences déductives. Alfred Tarski, New York Oxford. Presse de l'Université d'Oxford.
5. Principes de l'analyse mathématique. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelone Espagne.