FRACTIONS PARTIELLES: CAS ET EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2025

Les fractions partielles sont des fractions formées par des polynômes, dans lesquels le dénominateur peut être un polynôme linéaire ou quadratique et peut également être élevé à une puissance. Parfois, lorsque nous avons des fonctions rationnelles, il est très utile de réécrire cette fonction comme une somme de fractions partielles ou de fractions simples.

En effet, de cette manière, nous pouvons mieux manipuler ces fonctions, en particulier dans les cas où il est nécessaire d'intégrer ladite application. Une fonction rationnelle est simplement le quotient entre deux polynômes, et ils peuvent être corrects ou impropres.

Si le degré du polynôme du numérateur est inférieur au dénominateur, on l'appelle une fonction propre rationnelle; sinon, il est connu comme une fonction rationnelle incorrecte.

Définition

Lorsque nous avons une fonction rationnelle incorrecte, nous pouvons diviser le polynôme du numérateur par le polynôme du dénominateur et réécrire ainsi la fraction p (x) / q (x), en suivant l'algorithme de division comme t (x) + s (x) / q (x), où t (x) est un polynôme et s (x) / q (x) est une fonction rationnelle propre.

Une fraction partielle est toute fonction propre de polynômes, dont le dénominateur est de la forme (ax + b) ⁿ ou (ax ² + bx + c) ⁿ, si le polynôme ax ² + bx + c n'a pas de racines réelles et n est un nombre Naturel.

Pour réécrire une fonction rationnelle en fractions partielles, la première chose à faire est de factoriser le dénominateur q (x) comme un produit de facteurs linéaires et / ou quadratiques. Une fois que cela est fait, les fractions partielles sont déterminées, qui dépendent de la nature de ces facteurs.

Cas

Nous considérons plusieurs cas séparément.

Cas 1

Les facteurs de q (x) sont tous linéaires et aucun n'est répété. C'est-à-dire:

q (x) = (a ₁ x + b ₁) (a ₂ x + b ₂)… (a _s x + b _s)

Aucun facteur linéaire n'est identique à un autre. Lorsque ce cas se produit, nous écrirons:

p (x) / q (x) = A ₁ / (a ₁ x + b ₁) + A ₂ / (a ₂ x + b ₂)… + A _s / (a _s x + b _s).

Où A ₁, A ₂,…, A _s sont les constantes à trouver.

Exemple

Nous souhaitons décomposer la fonction rationnelle en fractions simples:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

Nous procédons à la factorisation du dénominateur, c'est-à-dire:

x ³ + 3x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Alors:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

En appliquant le plus petit multiple commun, on peut obtenir que:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Nous voulons obtenir les valeurs des constantes A, B et C, qui peuvent être trouvées en substituant les racines qui annulent chacun des termes. En substituant 0 à x, nous avons:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

En remplaçant - 1 pour x nous avons:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

En remplaçant - 2 pour x nous avons:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2C

C = –3/2.

De cette manière, les valeurs A = –1/2, B = 2 et C = –3/2 sont obtenues.

Il existe une autre méthode pour obtenir les valeurs de A, B et C.Si sur le côté droit de l'équation x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x nous combinons des termes, nous avons:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Puisqu'il s'agit d'une égalité de polynômes, nous avons que les coefficients du côté gauche doivent être égaux à ceux du côté droit. Il en résulte le système d'équations suivant:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

En résolvant ce système d'équations, nous obtenons les résultats A = –1/2, B = 2 et C = -3/2.

Enfin, en substituant les valeurs obtenues, nous avons que:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Cas 2

Les facteurs de q (x) sont tous linéaires et certains sont répétés. Supposons que (ax + b) soit un facteur qui répète "s" fois; puis, à ce facteur correspond la somme des fractions partielles «s».

A _s / (ax + b) ^s + A _s-1 / (ax + b) ^s-1 +… + A ₁ / (ax + b).

Où A _s, A _s-1,…, A ₁ sont les constantes à déterminer. Avec l'exemple suivant, nous montrerons comment déterminer ces constantes.

Exemple

Décomposer en fractions partielles:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³)

Nous écrivons la fonction rationnelle comme une somme de fractions partielles comme suit:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2).

Alors:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

En remplaçant 2 par x, nous avons cela:

7 = 4C, c'est-à-dire C = 7/4.

En substituant 0 à x, nous avons:

- 1 = –8A ou A = 1/8.

En substituant ces valeurs dans l'équation précédente et en développant, nous avons que:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Ex ² (x ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) x - 1.

En égalisant les coefficients, nous obtenons le système d'équations suivant:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Pour résoudre le système, nous avons:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Pour cela, nous devons:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2).

Cas 3

Les facteurs de q (x) sont quadratiques linéaires, sans facteurs quadratiques répétés. Dans ce cas, le facteur quadratique (ax ² + bx + c) correspondra à la fraction partielle (Ax + B) / (ax ² + bx + c), où les constantes A et B sont celles à déterminer.

L'exemple suivant montre comment procéder dans ce cas

Exemple

Décomposer en fractions simples a (x + 1) / (x ³ - 1).

Nous procédons d'abord à la factorisation du dénominateur, ce qui nous donne comme résultat:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

On peut observer que (x ² + x + 1) est un polynôme quadratique irréductible; c'est-à-dire qu'il n'a pas de vraies racines. Sa décomposition en fractions partielles sera la suivante:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

À partir de là, nous obtenons l'équation suivante:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

En utilisant l'égalité des polynômes, nous obtenons le système suivant:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A-C = 1;

De ce système, nous avons que A = 2/3, B = - 2/3 et C = 1/3. En remplaçant, nous avons cela:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1).

Cas 4

Enfin, le cas 4 est celui dans lequel les facteurs de q (x) sont linéaires et quadratiques, où certains des facteurs quadratiques linéaires sont répétés.

Dans ce cas, si (ax ² + bx + c) est un facteur quadratique qui répète "s" fois, alors la fraction partielle correspondant au facteur (ax ² + bx + c) sera:

(A ₁ x + B) / (ax ² + bx + c) +… + (A _s-1 x + B _s-1) / (ax ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B _s) / (ax ² + bx + c) ^s

Où A _s, A _s-1,…, A et B _s, B _s-1,…, B sont les constantes à déterminer.

Exemple

Nous voulons décomposer la fonction rationnelle suivante en fractions partielles:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²)

Puisque x ² - 4x + 5 est un facteur quadratique irréductible, nous avons que sa décomposition en fractions partielles est donnée par:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + 5) ²

En simplifiant et en développant, nous avons:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

De ce qui précède, nous avons le système d'équations suivant:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Lors de la résolution du système, il nous reste:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 et E = - 3/5.

En substituant les valeurs obtenues, nous avons:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ² - 4x + 5) ²

Applications

Calcul intégral

Les fractions partielles sont utilisées principalement pour l'étude du calcul intégral. Voici quelques exemples de réalisation d'intégrales à l'aide de fractions partielles.

Exemple 1

Nous souhaitons calculer l'intégrale de:

On voit que le dénominateur q (x) = (t + 2) ² (t + 1) est constitué de facteurs linéaires où l'un d'entre eux est répété; C'est pourquoi nous sommes dans le cas 2.

Nous devons:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Nous réécrivons l'équation et nous avons:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

Si t = - 1, on a:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Si t = - 2, cela nous donne:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Alors, si t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

En remplaçant les valeurs de A et C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

De ce qui précède, nous avons que B = - 1.

Nous réécrivons l'intégrale comme:

Nous procédons à sa résolution par la méthode de substitution:

Voici le résultat:

Exemple 2

Résolvez l'intégrale suivante:

Dans ce cas, nous pouvons factoriser aq (x) = x ² - 4 comme q (x) = (x - 2) (x + 2). Nous sommes clairement dans le cas 1. Par conséquent:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Il peut également être exprimé comme:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Si x = - 2, nous avons:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Et si x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Ainsi, il nous reste à résoudre l'intégrale donnée équivaut à résoudre:

Cela nous donne en conséquence:

Exemple 3

Résolvez l'intégrale:

Nous avons q (x) = 9x ⁴ + x ², que nous pouvons factoriser en q (x) = x ² (9x ² + 1).

Cette fois, nous avons un facteur linéaire répété et un facteur quadratique; c'est-à-dire que nous sommes dans le cas 3.

Nous devons:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

En regroupant et en utilisant des polynômes égaux, nous avons:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

De ce système d'équations, nous avons:

D = - 9 et C = 0

De cette façon, nous avons:

En résolvant ce qui précède, nous avons:

Loi de l'action de masse

Une application intéressante des fractions partielles appliquées au calcul intégral se trouve en chimie, plus précisément dans la loi de l'action de masse.

Supposons que nous ayons deux substances, A et B, qui se rejoignent et forment une substance C, de sorte que la dérivée de la quantité de C par rapport au temps soit proportionnelle au produit des quantités de A et de B à un moment donné.

Nous pouvons exprimer la loi de l'action de masse comme suit:

Dans cette expression α est le nombre initial de grammes correspondant à A et β le nombre initial de grammes correspondant à B.

De plus, r et s représentent respectivement le nombre de grammes de A et B qui se combinent pour former r + s grammes de C. Pour sa part, x représente le nombre de grammes de substance C au temps t, et K est le constante de proportionnalité. L'équation ci-dessus peut être réécrite comme suit:

Apporter la modification suivante:

Nous avons que l'équation devient:

De cette expression, nous pouvons obtenir:

Où si a ≠ b, des fractions partielles peuvent être utilisées pour l'intégration.

Exemple

Prenons par exemple une substance C issue de la combinaison d'une substance A avec un B, de telle sorte que la loi de masse soit remplie où les valeurs de a et b sont respectivement 8 et 6. Donnez une équation qui nous donne la valeur des grammes de C en fonction du temps.

En substituant les valeurs dans la loi de masse donnée, nous avons:

Lors de la séparation des variables, nous avons:

Ici 1 / (8 - x) (6 - x) peut être écrit comme la somme des fractions partielles, comme suit:

Ainsi, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Si nous substituons 6 à x, nous avons B = 1/2; et en remplaçant 8 par x, nous avons A = - 1/2.

En intégrant par fractions partielles, nous avons:

Cela nous donne en conséquence:

Equations différentielles: équation logistique

Une autre application qui peut être donnée aux fractions partielles est dans l'équation différentielle logistique. Dans les modèles simples, nous avons que le taux de croissance d'une population est proportionnel à sa taille; c'est-à-dire:

Ce cas est un idéal et est considéré comme réaliste jusqu'à ce qu'il arrive que les ressources disponibles dans un système soient insuffisantes pour soutenir la population.

Dans ces situations, le plus raisonnable est de penser qu'il existe une capacité maximale, que nous appellerons L, que le système peut soutenir, et que le taux de croissance est proportionnel à la taille de la population multipliée par la taille disponible. Cet argument conduit à l'équation différentielle suivante:

Cette expression est appelée l'équation différentielle logistique. Il s'agit d'une équation différentielle séparable qui peut être résolue avec la méthode d'intégration de fraction partielle.

Exemple

Un exemple serait de considérer une population qui croît selon l'équation différentielle logistique suivante y '= 0,0004y (1000 - y), dont les données initiales sont 400. Nous voulons connaître la taille de la population au temps t = 2, où t est mesuré dans des années.

Si on écrit y 'avec la notation de Leibniz comme une fonction qui dépend de t, on a:

L'intégrale sur le côté gauche peut être résolue en utilisant la méthode d'intégration de fraction partielle:

On peut réécrire cette dernière égalité comme suit:

- En substituant y = 0, nous avons que A est égal à 1/1000.

- En substituant y = 1000, nous avons que B est égal à 1/1000.

Avec ces valeurs, l'intégrale est la suivante:

La solution est:

En utilisant les données initiales:

Lors du nettoyage et nous avons:

Alors nous avons cela à t = 2:

En conclusion, après 2 ans, la taille de la population est d'environ 597,37.

Références

1. A, RA (2012). Mathématiques 1. Universidad de los Andes. Conseil des publications.
2. Cortez, I., et Sanchez, C. (nd). 801 Intégrales résolues. Université nationale expérimentale de Tachira.
3. Leithold, L. (1992). Le calcul avec la géométrie analytique. HARLA, SA
4. Purcell, EJ, Varberg, D., et Rigdon, SE (2007). Calcul. Mexique: Pearson Education.
5. Saenz, J. (nd). Calcul intégral. Hypoténuse.