AFFACTURAGE: MÉTHODES ET EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2025

La factorisation est une méthode par laquelle un polynôme est exprimé sous forme de facteurs de multiplication, qui peuvent être des nombres ou des lettres ou les deux. Pour factoriser, les facteurs communs aux termes sont regroupés, et de cette manière le polynôme est décomposé en plusieurs polynômes.

Ainsi, lorsque les facteurs sont multipliés ensemble, le résultat est le polynôme d'origine. La factorisation est une méthode très utile lorsque vous avez des expressions algébriques, car elle peut être convertie en multiplication de plusieurs termes simples; par exemple: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Il y a des cas dans lesquels un polynôme ne peut pas être factorisé parce qu'il n'y a pas de facteur commun entre ses termes; ainsi, ces expressions algébriques ne sont divisibles que par elles-mêmes et par 1. Par exemple: x + y + z.

Dans une expression algébrique, le facteur commun est le plus grand diviseur commun des termes qui la composent.

Méthodes d'affacturage

Il existe plusieurs méthodes d'affacturage, qui sont appliquées selon les cas. Certains d'entre eux sont les suivants:

Affacturage par facteur commun

Dans cette méthode, les facteurs communs sont identifiés; c'est-à-dire ceux qui sont répétés dans les termes de l'expression. Ensuite, la propriété distributive est appliquée, le plus grand diviseur commun est pris et l'affacturage est terminé.

En d'autres termes, le facteur commun de l'expression est identifié et chaque terme est divisé par lui; Les termes résultants seront multipliés par le plus grand diviseur commun pour exprimer la factorisation.

Exemple 1

Facteur (b ² x) + (b ² y).

Solution

Vous trouvez d'abord le facteur commun de chaque terme, qui dans ce cas est b ², puis divisez les termes par le facteur commun comme suit:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

La factorisation est exprimée en multipliant le facteur commun par les termes résultants:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

Exemple 2

Facteur (2a ² b ³) + (3ab ²).

Solution

Dans ce cas, nous avons deux facteurs qui sont répétés dans chaque terme qui sont "a" et "b", et qui sont élevés à une puissance. Pour les factoriser, les deux termes sont d'abord décomposés dans leur forme longue:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

On peut voir que le facteur "a" est répété une seule fois dans le second terme, et le facteur "b" est répété deux fois dans ce dernier; ainsi dans le premier terme il ne reste que 2, un facteur "a" et un facteur "b"; tandis que dans le deuxième terme il n'en reste que 3.

Par conséquent, les heures de répétition de "a" et "b" sont écrites et multipliées par les facteurs restants de chaque terme, comme indiqué dans l'image:

Affacturage groupé

Comme dans tous les cas le plus grand diviseur commun d'un polynôme n'est pas clairement exprimé, il est nécessaire de faire d'autres étapes pour pouvoir réécrire le polynôme et donc le facteur.

L'une de ces étapes consiste à regrouper les termes du polynôme en plusieurs groupes, puis à utiliser la méthode des facteurs communs.

Exemple 1

Facteur ac + bc + ad + bd.

Solution

Il y a 4 facteurs dont deux sont communs: dans le premier terme c'est «c» et dans le second c'est «d». De cette façon, les deux termes sont regroupés et séparés:

(ac + bc) + (ad + bd).

Il est maintenant possible d'appliquer la méthode des facteurs communs, en divisant chaque terme par son facteur commun, puis en multipliant ce facteur commun par les termes résultants, comme ceci:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Nous obtenons maintenant un binôme commun aux deux termes. Pour le factoriser, il est multiplié par les facteurs restants; de cette façon, vous devez:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Affacturage d'inspection

Cette méthode est utilisée pour factoriser les polynômes quadratiques, également appelés trinômes; c'est-à-dire ceux qui sont structurés comme ax ² ± bx + c, où la valeur de «a» est différente de 1. Cette méthode est également utilisée lorsque le trinôme a la forme x ² ± bx + c et la valeur de «a» = 1.

Exemple 1

Facteur x ² + 5x + 6.

Solution

Nous avons un trinôme quadratique de la forme x ² ± bx + c. Pour le factoriser, vous devez d'abord trouver deux nombres qui, multipliés, donnent comme résultat la valeur de «c» (c'est-à-dire 6) et que leur somme est égale au coefficient «b», qui vaut 5. Ces nombres sont 2 et 3:

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

De cette façon, l'expression est simplifiée comme ceci:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

Chaque terme est factorisé:

- Pour (x ² + 2x) le terme commun est pris: x (x + 2)

- Pour (3x + 6) = 3 (x + 2)

Ainsi, l'expression est:

x (x +2) + 3 (x +2).

Puisque nous avons un binôme en commun, pour réduire l'expression, nous le multiplions par les termes restants et nous devons:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Exemple 2

Facteur 4a ² + 12a + 9 = 0.

Solution

Nous avons un trinôme quadratique de la forme ax ² ± bx + cy pour le factoriser, multiplier l'expression entière par le coefficient de x ²; dans ce cas, 4.

4a ² + 12a +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 un ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² une ² + 12a (4) + 36 = 0

Il faut maintenant trouver deux nombres qui, multipliés l'un par l'autre, donnent comme résultat la valeur de "c" (qui est 36) et qui, une fois ajoutés, donnent comme résultat le coefficient du terme "a", qui est de 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

De cette manière, l'expression est réécrite en tenant compte du fait que 4 ² a ² = 4a _* 4a. Par conséquent, la propriété distributive s'applique pour chaque terme:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Enfin, l'expression est divisée par le coefficient de a ²; c'est-à-dire 4:

(4e + 6) _* (4e + 6) / 4 = ((4e + 6) / 2) _* ((4e + 6) / 2).

L'expression est la suivante:

4a ² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Affacturage avec des produits notables

Il y a des cas où, pour factoriser complètement les polynômes avec les méthodes ci-dessus, cela devient un processus très long.

C'est pourquoi une expression peut être développée avec les formules des produits remarquables et ainsi le processus devient plus simple. Parmi les produits notables les plus utilisés sont:

- Différence de deux carrés: (a ² - b ²) = (a - b) _* (a + b)

- Carré parfait d'une somme: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- Carré parfait d'une différence: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- Différence de deux cubes: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ²)

- Somme de deux cubes: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ²)

Exemple 1

Facteur (5 ² - x ²)

Solution

Dans ce cas, il y a une différence de deux carrés; c'est pourquoi la formule du produit remarquable s'applique:

(a ² - b ²) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ²) = (5 - x) _* (5 + x)

Exemple 2

Facteur 16x ² + 40x + 25 ²

Solution

Dans ce cas, vous avez un carré parfait d'une somme, car vous pouvez identifier deux termes au carré, et le terme qui reste est le résultat de la multiplication de deux par la racine carrée du premier terme, par la racine carrée du deuxième terme.

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

Pour factoriser uniquement les racines carrées des premier et troisième termes sont calculées:

√ (16x ²) = 4x

√ (25 ²) = 5.

Ensuite, les deux termes résultants sont exprimés séparés par le signe de l'opération, et le polynôme entier est au carré:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ².

Exemple 3

Facteur 27a ³ - b ³

Solution

L'expression représente une soustraction dans laquelle deux facteurs sont cubés. Pour les factoriser, la formule du produit notable de la différence des cubes est appliquée, qui est:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ²)

Ainsi, pour factoriser, la racine cubique de chaque terme du binôme est prise et multipliée par le carré du premier terme, plus le produit du premier par le deuxième terme, plus le deuxième terme au carré.

27a ³ - b ³

³√ (27a ³) = 3a

³√ (-b ³) = -b

27a ³ - b ³ = (3a - b) _*

27a ³ - b ³ = (3a - b) _* (9a ² + 3ab + b ²)

Factorisation avec la règle de Ruffini

Cette méthode est utilisée lorsque vous avez un polynôme de degré supérieur à deux, afin de simplifier l'expression en plusieurs polynômes de moindre degré.

Exemple 1

Facteur Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

Solution

Commençons par rechercher les nombres qui sont des diviseurs de 12, qui est le terme indépendant; Ce sont ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 et ± 12.

Ensuite, le x est remplacé par ces valeurs, de la plus basse à la plus élevée, et ainsi il est déterminé avec laquelle des valeurs la division sera exacte; autrement dit, le reste doit être égal à 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

Et ainsi de suite pour chaque diviseur. Dans ce cas, les facteurs trouvés sont pour x = -1 et x = 2.

Maintenant, la méthode de Ruffini est appliquée, selon laquelle les coefficients de l'expression seront divisés par les facteurs trouvés pour que la division soit exacte. Les termes polynomiaux sont classés du plus grand au plus petit exposant; dans le cas où un terme avec le degré suivant manque dans la séquence, un 0 est placé à sa place.

Les coefficients sont situés dans un schéma comme indiqué dans l'image suivante.

Le premier coefficient est abaissé et multiplié par le diviseur. Dans ce cas, le premier diviseur est -1 et le résultat est placé dans la colonne suivante. Ensuite, la valeur du coefficient avec ce résultat obtenu est ajoutée verticalement et le résultat est placé en dessous. De cette façon, le processus est répété jusqu'à la dernière colonne.

Ensuite, la même procédure est répétée à nouveau, mais avec le deuxième diviseur (qui est 2) car l'expression peut encore être simplifiée.

Ainsi, pour chaque racine obtenue, le polynôme aura un terme (x - a), où "a" est la valeur de la racine:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

D'autre part, ces termes doivent être multipliés par le reste de la règle de Ruffini 1: 1 et -6, qui sont des facteurs qui représentent un degré. De cette manière, l'expression qui se forme est: (x ² + x - 6).

L'obtention du résultat de la factorisation du polynôme par la méthode de Ruffini est:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

Enfin, le polynôme de degré 2 qui apparaît dans l'expression précédente peut être réécrit comme (x + 3) (x-2). Par conséquent, la factorisation finale est:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

Références

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algèbre et trigonométrie avec géométrie analytique. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Comment enseigner aux enfants à factoriser un polynôme.
3. Manuel Morillo, AS (sf). Mathématiques de base avec applications.
4. Roelse, PL (1997). Méthodes linéaires de factorisation polynomiale sur corps finis: théorie et implémentations. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Anneaux et factorisation.