FACTEUR COMMUN PAR REGROUPEMENT DE TERMES: EXEMPLES, EXERCICES - MATEMATIQUES - 2025

Le point commun par regroupement de termes est une procédure algébrique qui permet d'écrire certaines expressions algébriques sous forme de facteurs. Pour atteindre cet objectif, vous devez d'abord grouper correctement l'expression et observer que chaque groupe ainsi formé a, en effet, un facteur commun.

Appliquer correctement la technique nécessite un peu de pratique, mais en un rien de temps, vous la maîtrisez. Regardons d'abord un exemple illustratif décrit étape par étape. Ensuite, le lecteur peut appliquer ce qu'il a appris dans chacun des exercices qui apparaîtront plus tard.

Figure 1. Prendre un facteur commun en regroupant des termes facilite le travail avec des expressions algébriques. Source: Pixabay.

Par exemple, supposons que vous deviez factoriser l'expression suivante:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Cette expression algébrique se compose de 4 monômes ou termes, séparés par des signes + et -, à savoir:

2x ², 2xy, -3zx, -3zy

En regardant de près, x est commun aux trois premiers, mais pas au dernier, tandis que y est commun aux deuxième et quatrième, et z est commun aux troisième et quatrième.

Donc, en principe, il n'y a pas de facteur commun aux quatre termes en même temps, mais s'ils sont regroupés comme cela sera montré dans la section suivante, il est possible que l'un apparaisse qui aide à écrire l'expression comme le produit de deux ou plus les facteurs.

Exemples

Factoriser l'expression: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Étape 1: Groupe

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Étape 2: Trouvez le facteur commun de chaque groupe

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

I mportant: le signe négatif est aussi un facteur commun dont il faut tenir compte.

Notez maintenant que les parenthèses (x + y) sont répétées dans les deux termes obtenus par regroupement. C'est le facteur commun recherché.

Étape 3: factoriser l'expression entière

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

Avec le résultat précédent, l'objectif de la factorisation a été atteint, qui n'est autre que de transformer une expression algébrique basée sur des additions et des soustractions de termes, en le produit de deux ou plusieurs facteurs, dans notre exemple, de: (x + y) et (2x - 3z).

Questions importantes sur le facteur commun par regroupement

Question 1: Comment savoir que le résultat est correct?

Réponse: La propriété distributive est appliquée au résultat obtenu et après réduction et simplification, l'expression ainsi obtenue doit correspondre à l'original, sinon, il y a une erreur.

Dans l'exemple précédent, nous travaillons en sens inverse avec le résultat, pour vérifier qu'il est correct:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

Comme l'ordre des ajouts ne modifie pas la somme, après l'application de la propriété distributive, tous les termes d'origine sont renvoyés, y compris les signes, par conséquent, la factorisation est correcte.

Question 2: Aurait-il pu être groupé d'une autre manière?

Réponse: Il existe des expressions algébriques qui autorisent plus d'une forme de regroupement et d'autres qui ne le permettent pas. Dans l'exemple sélectionné, le lecteur peut essayer lui-même d'autres possibilités, par exemple en regroupant comme ceci:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

Et vous pouvez vérifier que le résultat est le même que celui obtenu ici. Trouver le regroupement optimal est une question de pratique.

Question 3: Pourquoi est-il nécessaire de prendre un facteur commun d'une expression algébrique?

Réponse: Parce qu'il existe des applications où l'expression factorisée facilite les calculs. Par exemple, supposons que vous vouliez définir 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy égal à 0. Quelles sont les possibilités?

Pour répondre à cette question, la version factorisée est bien plus utile que le développement original en termes. Il est indiqué comme ceci:

(x + y) (2x - 3z) = 0

Une possibilité que l'expression vaut 0 est que x = -y, quelle que soit la valeur de z. Et l'autre est que x = (3/2) z, quelle que soit la valeur de y.

Exercices

- Exercice 1

Extraire le facteur commun de l'expression suivante par regroupement de termes:

hache + ay + bx + par

Solution

Les deux premiers sont regroupés, avec le facteur commun «a» et les deux derniers avec le facteur commun «b»:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y)

Une fois cela fait, un nouveau facteur commun est révélé, qui est (x + y), de sorte que:

ax + ay + bx + par = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Une autre façon de grouper

Cette expression prend en charge une autre façon de regrouper. Voyons ce qui se passe si les termes sont réorganisés et qu'un groupe est fait avec ceux qui contiennent x et un autre avec ceux qui contiennent y:

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)

De cette façon, le nouveau facteur commun est (a + b):

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Ce qui conduit au même résultat à partir du premier regroupement qui a été testé.

- Exercice 2

L'expression algébrique suivante doit être écrite comme le produit de deux facteurs:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ²

Solution

Cette expression contient 6 termes. Essayons de regrouper les premier et quatrième, deuxième et troisième et enfin cinquième et sixième:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ²) + (- 3a ² b + 9ab ²) + (ab-3b ²)

Maintenant, chaque parenthèse est factorisée:

= (3a ³ -a ²) + (- 3a ² b + 9ab ²) + (ab -3b ²) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b)

À première vue, il semble que la situation ait été compliquée, mais le lecteur ne doit pas être découragé, puisque nous allons réécrire le dernier terme:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

Les deux derniers termes ont maintenant un facteur commun, qui est (3b-a), de sorte qu'ils peuvent être factorisés. Il est très important de ne pas perdre de vue le premier terme a ² (3a - 1), qui doit continuer à accompagner tout comme un ajout, même si vous ne travaillez pas avec:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

L'expression a été réduite à deux termes et un nouveau facteur commun est découvert dans le dernier, qui est "b". Maintenant, il reste:

a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

Le prochain facteur commun à apparaître est 3a - 1:

a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

Ou si vous préférez sans parenthèses:

(3a - 1) = (3a - 1) (a ² –ab + 3b ²)

Le lecteur peut-il trouver une autre façon de grouper qui mène au même résultat?

Figure 2. Exercices d'affacturage proposés. Source: F. Zapata.

Références

1. Baldor, A. 1974. Algèbre élémentaire. Cultural Venezolana SA
2. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
3. Principaux cas d'affacturage. Récupéré de: julioprofe.net.
4. UNAM. Mathématiques de base: factorisation par regroupement de termes. Faculté de comptabilité et d'administration.
5. Zill, D. 1984. Algèbre et trigonométrie. MacGraw Hill.