- Comment déterminer les composantes rectangulaires d'un vecteur?
- Existe-t-il d'autres méthodes?
- Exercices
- Premier exercice
- Deuxième exercice
- Troisième exercice
- Références
Les composantes rectangulaires d'un vecteur sont les données qui composent ce vecteur. Pour les déterminer, il est nécessaire d'avoir un système de coordonnées, qui est généralement le plan cartésien.
Une fois que vous avez un vecteur dans un système de coordonnées, vous pouvez calculer ses composants. Il s'agit de 2, une composante horizontale (parallèle à l'axe X), appelée «composante sur l'axe X», et une composante verticale (parallèle à l'axe Y), appelée «composante sur l'axe Y».
Représentation graphique des composantes rectangulaires d'un vecteur
Afin de déterminer les composantes, il est nécessaire de connaître certaines données du vecteur telles que sa magnitude et l'angle qu'il forme avec l'axe X.
Comment déterminer les composantes rectangulaires d'un vecteur?
Pour déterminer ces composants, certaines relations entre les triangles rectangles et les fonctions trigonométriques doivent être connues.
Dans l'image suivante, vous pouvez voir cette relation.
Relations entre les triangles droits et les fonctions trigonométriques
Le sinus d'un angle est égal au quotient entre la mesure de la jambe opposée à l'angle et la mesure de l'hypoténuse.
Par contre, le cosinus d'un angle est égal au quotient entre la mesure de la jambe adjacente à l'angle et la mesure de l'hypoténuse.
La tangente d'un angle est égale au quotient entre la mesure de la jambe opposée et la mesure de la jambe adjacente.
Dans toutes ces relations, il est nécessaire d'établir le triangle rectangle correspondant.
Existe-t-il d'autres méthodes?
Oui. En fonction des données fournies, la manière de calculer les composantes rectangulaires d'un vecteur peut varier. Un autre outil largement utilisé est le théorème de Pythagore.
Exercices
Les exercices suivants mettent en pratique la définition des composantes rectangulaires d'un vecteur et les relations décrites ci-dessus.
Premier exercice
On sait qu'un vecteur A a une grandeur égale à 12 et l'angle qu'il fait avec l'axe X a une mesure de 30 °. Déterminer les composantes rectangulaires dudit vecteur A.
Solution
Si l'image est appréciée et les formules décrites ci-dessus sont utilisées, on peut conclure que la composante en axe Y du vecteur A est égale à
sin (30 °) = Vy / 12, et donc Vy = 12 * (1/2) = 6.
Par contre, nous avons que la composante sur l'axe X du vecteur A est égale à
cos (30 °) = Vx / 12, et donc Vx = 12 * (√3 / 2) = 6√3.
Deuxième exercice
Si le vecteur A a une grandeur égale à 5 et la composante sur l'axe des x est égale à 4, déterminez la valeur de la composante de A sur l'axe des y.
Solution
En utilisant le théorème de Pythagore, nous avons que la grandeur du vecteur A au carré est égale à la somme des carrés des deux composantes rectangulaires. Autrement dit, M² = (Vx) ² + (Vy) ².
En remplaçant les valeurs données, vous devez
5² = (4) ² + (Vy) ², donc 25 = 16 + (Vy) ².
Cela implique que (Vy) ² = 9 et par conséquent Vy = 3.
Troisième exercice
Si le vecteur A a une grandeur égale à 4 et qu'il fait un angle de 45 ° avec l'axe X, déterminez les composantes rectangulaires de ce vecteur.
Solution
En utilisant les relations entre un triangle rectangle et les fonctions trigonométriques, on peut conclure que la composante sur l'axe Y du vecteur A est égale à
sin (45 °) = Vy / 4, et donc Vy = 4 * (√2 / 2) = 2√2.
Par contre, nous avons que la composante sur l'axe X du vecteur A est égale à
cos (45 °) = Vx / 4, et donc Vx = 4 * (√2 / 2) = 2√2.
Références
- Landaverde, FD (1997). Geometry (réimprimé éd.). Le progrès.
- Leake, D. (2006). Triangles (édité illustré). Heinemann-Raintree.
- Pérez, CD (2006). Précalcul. Pearson Education.
- Ruiz, Á., Et Barrantes, H. (2006). Géométries. Technologique de CR.
- Sullivan, M. (1997). Précalcul. Pearson Education.
- Sullivan, M. (1997). Trigonométrie et géométrie analytique. Pearson Education.