4 EXERCICES D'AFFACTURAGE AVEC DES SOLUTIONS - MATEMATIQUES - 2025

Les exercices de factorisation permettent de comprendre cette technique, très utilisée en mathématiques et en cours d'écriture d'une somme comme produit de certains termes.

Le mot factorisation fait référence à des facteurs, qui sont des termes qui multiplient d'autres termes. Par exemple, dans la factorisation première d'un nombre naturel, les nombres premiers impliqués sont appelés facteurs.

Autrement dit, 14 peut être écrit 2 * 7. Dans ce cas, les facteurs premiers de 14 sont 2 et 7. Il en va de même pour les polynômes de variables réelles.

Autrement dit, si vous avez un polynôme P (x), la factorisation du polynôme consiste à écrire P (x) comme le produit d'autres polynômes de degré inférieur au degré de P (x).

Affacturage

Diverses techniques sont utilisées pour factoriser un polynôme, y compris des produits notables et le calcul des racines du polynôme.

Si nous avons un polynôme du second degré P (x), et x1 et x2 sont les racines réelles de P (x), alors P (x) peut être factorisé comme "a (x-x1) (x-x2)", où "a" est le coefficient qui accompagne la puissance quadratique.

Comment les racines sont-elles calculées?

Si le polynôme est de degré 2, alors les racines peuvent être calculées avec la formule appelée "la résolvante".

Si le polynôme est de degré 3 ou plus, la méthode de Ruffini est généralement utilisée pour calculer les racines.

4 exercices d'affacturage

Premier exercice

Factorisez le polynôme suivant: P (x) = x²-1.

Solution

Il n'est pas toujours nécessaire d'utiliser le résolvant. Dans cet exemple, vous pouvez utiliser un produit remarquable.

En réécrivant le polynôme comme suit, nous pouvons voir quel produit notable utiliser: P (x) = x² - 1².

En utilisant le produit remarquable 1, différence de carrés, nous avons que le polynôme P (x) peut être factorisé comme suit: P (x) = (x + 1) (x-1).

Cela indique en outre que les racines de P (x) sont x1 = -1 et x2 = 1.

Deuxième exercice

Factorisez le polynôme suivant: Q (x) = x³ - 8.

Solution

Il y a un produit remarquable qui dit le texte suivant: a³-b³ = (ab) (a² + ab + b²).

Sachant cela, le polynôme Q (x) peut être réécrit comme suit: Q (x) = x³-8 = x³ - 2³.

Or, en utilisant le produit remarquable décrit, nous avons que la factorisation du polynôme Q (x) est Q (x) = x³-2³ = (x-2) (x² + 2x + 2²) = (x-2) (x² + 2x + 4).

Le polynôme quadratique apparu à l'étape précédente reste à factoriser. Mais si vous y regardez, le produit remarquable n ° 2 peut vous aider; par conséquent, la factorisation finale de Q (x) est donnée par Q (x) = (x-2) (x + 2) ².

Cela dit qu'une racine de Q (x) est x1 = 2, et que x2 = x3 = 2 est l'autre racine de Q (x), qui est répétée.

Troisième exercice

Facteur R (x) = x² - x - 6.

Solution

Lorsqu'un produit remarquable ne peut être détecté, ou que l'expérience nécessaire pour manipuler l'expression n'est pas disponible, nous procédons à l'utilisation du résolvant. Les valeurs sont les suivantes: a = 1, b = -1 et c = -6.

En les substituant dans la formule, on obtient x = (-1 ± √ ((- 1) ² - 4 * 1 * (- 6))) / 2 * 1 = (-1 ± √25) / 2 = (-1 ± 5)/deux.

À partir de là, il existe deux solutions qui sont les suivantes:

x1 = (-1 + 5) / 2 = 2

x2 = (-1-5) / 2 = -3.

Par conséquent, le polynôme R (x) peut être factorisé comme R (x) = (x-2) (x - (- 3)) = (x-2) (x + 3).

Quatrième exercice

Facteur H (x) = x³ - x² - 2x.

Solution

Dans cet exercice, nous pouvons commencer par prendre le facteur commun x et nous obtenons que H (x) = x (x²-x-2).

Par conséquent, il ne reste plus qu'à factoriser le polynôme quadratique. En utilisant à nouveau le résolvant, nous avons que les racines sont:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4 * 1 * (- 2))) / 2 * 1 = (-1 ± √9) / 2 = (-1 ± 3) / 2.

Par conséquent, les racines du polynôme quadratique sont x1 = 1 et x2 = -2.

En conclusion, la factorisation du polynôme H (x) est donnée par H (x) = x (x-1) (x + 2).

Références

1. 1. Fuentes, A. (2016). MATHÉMATIQUES DE BASE. Une introduction au calcul. Lulu.com.
   2. Garo, M. (2014). Mathématiques: équations quadratiques: comment résoudre une équation quadratique. Marilù Garo.
   3. Haeussler, EF et Paul, RS (2003). Mathématiques pour la gestion et l'économie. Pearson Education.
   4. Jiménez, J., Rofríguez, M. et Estrada, R. (2005). Math 1 SEP. Seuil.
   5. Preciado, CT (2005). Cours de mathématiques 3e. Éditorial Progreso.
   6. Rock, Nouveau-Mexique (2006). L'algèbre I est facile! Si facile. Team Rock Press.
   7. Sullivan, J. (2006). Algèbre et trigonométrie. Pearson Education.