13 CLASSES D'ENSEMBLES ET D'EXEMPLES - VOCABULAIRE DE LA CULTURE - 2024

Les classes d'ensembles peuvent être classées en égales, finies et infinies, sous-ensembles, vides, disjoints ou disjonctifs, équivalents, unitaires, superposés ou superposés, congruents et non congruents, entre autres.

Un ensemble est une collection d'objets, mais de nouveaux termes et symboles sont nécessaires pour pouvoir parler raisonnablement d'ensembles. Par exemple, nous disons ensemble de chevaux, ensemble de nombres réels, ensemble de personnes, ensemble de chiens, etc.

Dans le langage ordinaire, le monde dans lequel nous vivons prend sens en classant les choses. L'espagnol a beaucoup de mots pour de telles collections. Par exemple, «un troupeau d'oiseaux», «un troupeau de bétail», «un essaim d'abeilles» et «une colonie de fourmis».

En mathématiques, quelque chose de similaire est fait lors de la classification des nombres, des figures géométriques, etc. Les objets de ces ensembles sont appelés éléments d'ensemble.

Description d'un ensemble

Un ensemble peut être décrit en listant tous ses éléments. Par exemple, S = {1, 3, 5, 7, 9}.

"S est l'ensemble dont les éléments sont 1, 3, 5, 7 et 9." Les cinq éléments de l'ensemble sont séparés par des virgules et sont indiqués entre accolades.

Un ensemble peut également être délimité en présentant une définition de ses éléments entre crochets. Ainsi, l'ensemble S ci-dessus peut aussi s'écrire:

S = {entiers impairs inférieurs à 10}.

Un ensemble doit être bien défini. Cela signifie que la description des éléments d'un ensemble doit être claire et sans ambiguïté. Par exemple, {personnes de grande taille} n'est pas un ensemble, car les gens ont tendance à ne pas être d'accord avec ce que signifie «grand». Un exemple d'ensemble bien défini est

T = {lettres de l'alphabet}.

Types d'ensembles

1- Ensembles égaux

Deux ensembles sont égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments.

Par exemple:

• Si A = {Voyelles de l'alphabet} et B = {a, e, i, o, u} on dit que A = B.
• Par contre, les ensembles {1, 3, 5} et {1, 2, 3} ne sont pas les mêmes, car ils ont des éléments différents. Ceci s'écrit {1, 3, 5} ≠ {1, 2, 3}.
• L'ordre dans lequel les éléments sont écrits entre crochets n'a aucune importance. Par exemple, {1, 3, 5, 7, 9} = {3, 9, 7, 5, 1} = {5, 9, 1, 3, 7}.
• Si un élément apparaît dans la liste plus d'une fois, il n'est compté qu'une seule fois. Par exemple, {a, a, b} = {a, b}.

L'ensemble {a, a, b} ne comporte que les deux éléments a et b. La deuxième mention d'un est une répétition inutile et peut être ignorée. Il est généralement considéré comme une mauvaise notation lorsqu'un élément est énuméré plus d'une fois.

2- Ensembles finis et infinis

Les ensembles finis sont ceux où tous les éléments de l'ensemble peuvent être comptés ou énumérés. Voici deux exemples:

• {Nombres entiers entre 2 000 et 2 005} = {2 001, 2 002, 2 003, 2 004}
• {Nombres entiers entre 2 000 et 3 000} = {2 001, 2 002, 2 003,…, 2 999}

Les trois points «…» dans le deuxième exemple représentent les 995 autres nombres de l'ensemble. Tous les éléments auraient pu être répertoriés, mais pour gagner de la place, des points ont été utilisés à la place. Cette notation ne peut être utilisée que si son sens est parfaitement clair, comme dans cette situation.

Un ensemble peut aussi être infini - tout ce qui compte, c'est qu'il soit bien défini. Voici deux exemples d'ensembles infinis:

• {Nombres pairs et entiers supérieurs ou égaux à deux} = {2, 4, 6, 8, 10,…}
• {Nombres entiers supérieurs à 2 000} = {2 001, 2 002, 2 003, 2 004,…}

Les deux ensembles sont infinis, car quel que soit le nombre d'éléments que vous essayez d'énumérer, il y a toujours plus d'éléments dans l'ensemble qui ne peuvent pas être répertoriés, quelle que soit la durée que vous essayez. Cette fois, les points «…» ont une signification légèrement différente, car ils représentent une infinité d'éléments non numérotés.

3- Ensembles de sous-ensembles

Un sous-ensemble fait partie d'un ensemble.

• Exemple: les hiboux sont un type particulier d'oiseau, donc chaque hibou est aussi un oiseau. Dans le langage des ensembles, il s'exprime en disant que l'ensemble des hiboux est un sous-ensemble de l'ensemble des oiseaux.

Un ensemble S est appelé un sous-ensemble d'un autre ensemble T, si chaque élément de S est un élément de T. Cela s'écrit:

• S ⊂ T (Lire "S est un sous-ensemble de T")

Le nouveau symbole ⊂ signifie «est un sous-ensemble de». Donc {hiboux} ⊂ {oiseaux} parce que chaque hibou est un oiseau.

• Si A = {2, 4, 6} et B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, alors A ⊂ B,

Parce que chaque élément de A est un élément de B.

Le symbole ⊄ signifie «pas un sous-ensemble».

Cela signifie qu'au moins un élément de S n'est pas un élément de T. Par exemple:

• {Oiseaux} ⊄ {créatures volantes}

Parce qu'une autruche est un oiseau, mais elle ne vole pas.

• Si A = {0, 1, 2, 3, 4} et B = {2, 3, 4, 5, 6}, alors A ⊄

Parce que 0 ∈ A, mais 0 ∉ B, nous lisons «0 appartient à l'ensemble A», mais «0 n'appartient pas à l'ensemble B».

4- Ensemble vide

Le symbole Ø représente l'ensemble vide, qui est l'ensemble qui ne contient aucun élément. Rien dans l'univers entier n'est un élément de Ø:

• - Ø - = 0 et X ∉ Ø, peu importe ce que X peut être.

Il n'y a qu'un seul ensemble vide, car deux ensembles vides ont exactement les mêmes éléments, ils doivent donc être égaux l'un à l'autre.

5- Ensembles disjoints ou disjonctifs

Deux ensembles sont appelés disjoints s'ils n'ont pas d'éléments en commun. Par exemple:

• Les ensembles S = {2, 4, 6, 8} et T = {1, 3, 5, 7} sont disjoints.

6- Ensembles équivalents

On dit que A et B sont équivalents s'ils ont le même nombre d'éléments qui les constituent, c'est-à-dire que le nombre cardinal de l'ensemble A est égal au nombre cardinal de l'ensemble B, n (A) = n (B). Le symbole pour désigner un ensemble équivalent est «↔».

• Par exemple:

  A = {1, 2, 3}, donc n (A) = 3

  B = {p, q, r}, donc n (B) = 3

  Donc, A ↔ B

7- Ensembles d'unités

C'est un ensemble qui contient exactement un élément. En d'autres termes, il n'y a qu'un seul élément qui constitue le tout.

Par exemple:

• S = {a}
• Soit B = {est un nombre premier pair}

Par conséquent, B est un ensemble d'unités car il n'y a qu'un seul nombre premier pair, c'est-à-dire 2.

8- Ensemble universel ou référentiel

Un ensemble universel est la collection de tous les objets dans un contexte ou une théorie particulière. Tous les autres ensembles de ce cadre constituent des sous-ensembles de l'ensemble universel, qui est nommé par la lettre majuscule U en italique.

La définition précise de U dépend du contexte ou de la théorie considérée. Par exemple:

• U peut être défini comme l'ensemble de tous les êtres vivants sur la planète Terre. Dans ce cas, l'ensemble de tous les félins est un sous-ensemble de U, l'ensemble de tous les poissons est un autre sous-ensemble de U.
• Si U est défini comme l'ensemble de tous les animaux de la planète Terre, alors l'ensemble de tous les félins est un sous-ensemble de U, l'ensemble de tous les poissons est un autre sous-ensemble de U, mais l'ensemble de tous les arbres n'est pas un sous-ensemble de U.

9- Ensembles qui se chevauchent ou se chevauchent

Deux ensembles qui ont au moins un élément en commun sont appelés ensembles se chevauchant.

• Exemple: Soit X = {1, 2, 3} et Y = {3, 4, 5}

Les deux ensembles X et Y ont un élément en commun, le nombre 3. Par conséquent, ils sont appelés ensembles superposés.

10- Ensembles congruents.

Ce sont ces ensembles dans lesquels chaque élément de A a la même relation de distance avec ses éléments d'image de B. Exemple:

• B {2, 3, 4, 5, 6} et A {1, 2, 3, 4, 5}

La distance entre: 2 et 1, 3 et 2, 4 et 3, 5 et 4, 6 et 5 est une (1) unité, donc A et B sont des ensembles congruents.

11- Ensembles non congruents

Ce sont ceux dans lesquels la même relation de distance entre chaque élément en A ne peut être établie avec son image en B. Exemple:

• B {2, 8, 20, 100, 500} et A {1, 2, 3, 4, 5}

La distance entre: 2 et 1, 8 et 2, 20 et 3, 100 et 4, 500 et 5 est différente, donc A et B sont des ensembles non congruents.

12- Ensembles homogènes

Tous les éléments qui composent l'ensemble appartiennent à la même catégorie, genre ou classe. Ils sont du même type. Exemple:

• B {2, 8, 20, 100, 500}

Tous les éléments de B sont des nombres, donc l'ensemble est considéré comme homogène.

13- Ensembles hétérogènes

Les éléments qui font partie de l'ensemble appartiennent à différentes catégories. Exemple:

• A {z, auto, π, bâtiments, bloc}

Il n'y a pas de catégorie à laquelle appartiennent tous les éléments de l'ensemble, c'est donc un ensemble hétérogène.

Références

1. Brown, P. et coll. (2011). Ensembles et diagrammes de Venn. Melbourne, Université de Melbourne.
2. Ensemble fini. Récupéré de: math.tutorvista.com.
3. Hoon, L. et Hoon, T (2009). Math Insights Secondaire 5 Normal (Académique). Singapour, Pearson Education South Asia Pte Ld.
4. Récupéré de: searchsecurity.techtarget.com.
5. Types d'ensembles. Récupéré de: math-only-math.com.