THÉORÈME D'EUCLIDE: PREUVE, APPLICATION ET EXERCICES - MATEMATIQUES - 2025

Le théorème d'Euclide montre les propriétés d'un triangle pour dessiner une ligne qui le divise en deux nouveaux triangles qui sont similaires et, à leur tour, sont similaires au triangle d'origine; puis, il y a une relation de proportionnalité.

Euclide était l'un des plus grands mathématiciens et géomètres de l'ancien âge qui a effectué plusieurs preuves de théorèmes importants. L'un des principaux est celui qui porte son nom, qui a eu une large application.

Cela a été le cas car, à travers ce théorème, il explique de manière simple les relations géométriques existant dans le triangle rectangle, où les pattes du triangle sont liées à leurs projections sur l'hypoténuse.

Formules et démonstration

Le théorème d'Euclide propose que dans chaque triangle rectangle, lorsqu'une ligne est dessinée - qui représente la hauteur qui correspond au sommet de l'angle droit par rapport à l'hypoténuse - deux triangles rectangles sont formés à partir de l'original.

Ces triangles seront similaires les uns aux autres et seront également similaires au triangle d'origine, ce qui signifie que leurs côtés similaires sont proportionnels les uns aux autres:

Les angles des trois triangles sont congruents; c'est-à-dire que lorsqu'ils sont tournés de 180 degrés autour de leur sommet, un angle coïncide avec l'autre. Cela implique qu'ils seront tous les mêmes.

De cette manière, la similitude qui existe entre les trois triangles peut également être vérifiée par l'égalité de leurs angles. À partir de la similitude des triangles, Euclide en établit les proportions à partir de deux théorèmes:

- Théorème de hauteur.

- Théorème des jambes.

Ce théorème a une large application. Dans les temps anciens, il était utilisé pour calculer des hauteurs ou des distances, ce qui représentait une grande avancée pour la trigonométrie.

Il est actuellement appliqué dans divers domaines basés sur les mathématiques, tels que l'ingénierie, la physique, la chimie et l'astronomie, parmi de nombreux autres domaines.

Théorème de hauteur

Dans ce théorème, il est établi que dans tout triangle rectangle, la hauteur tirée de l'angle droit par rapport à l'hypoténuse est la moyenne proportionnelle géométrique (le carré de la hauteur) entre les projections des jambes qu'elle détermine sur l'hypoténuse.

Autrement dit, le carré de la hauteur sera égal à la multiplication des jambes projetées qui forment l'hypoténuse:

h _c ² = m _* n

Manifestation

Étant donné un triangle ABC, qui est juste au sommet C, le traçage de la hauteur génère deux triangles rectangles similaires, ADC et BCD; par conséquent, leurs côtés correspondants sont proportionnels:

De telle manière que la hauteur h _c qui correspond au segment CD, correspond à l'hypoténuse AB = c, on a donc:

À son tour, cela correspond à:

En résolvant l'hypoténuse (h _c), pour multiplier les deux membres de l'égalité, nous avons:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c ² = m _* n

Ainsi, la valeur de l'hypoténuse est donnée par:

Théorème de jambe

Dans ce théorème, il est établi que, dans chaque triangle rectangle, la mesure de chaque jambe sera la moyenne proportionnelle géométrique (le carré de chaque jambe) entre la mesure de l'hypoténuse (complète) et la projection de chacune sur elle:

b ² = c _* m

a ² = c _* n

Manifestation

Étant donné un triangle ABC, qui est juste au sommet C, de telle manière que son hypoténuse est c, lors du traçage de la hauteur (h), les projections des jambes a et b sont déterminées, qui sont les segments m et n respectivement, et qui reposent sur l'hypoténuse.

Ainsi, nous avons que la hauteur dessinée sur le triangle rectangle ABC génère deux triangles rectangles similaires, ADC et BCD, de sorte que les côtés correspondants sont proportionnels, comme ceci:

DB = n, qui est la projection de la jambe CB sur l'hypoténuse.

AD = m, qui est la projection de la jambe AC ​​sur l'hypoténuse.

Ensuite, l'hypoténuse c est déterminée par la somme des jambes de ses projections:

c = m + n

En raison de la similitude des triangles ADC et BCD, nous avons:

Ce qui précède est le même que:

En résolvant la jambe «a» pour multiplier les deux membres de l'égalité, nous avons:

a _* a = c _* n

a ² = c _* n

Ainsi, la valeur de la jambe "a" est donnée par:

De même, en raison de la similitude des triangles ACB et ADC, nous avons:

Ce qui précède est égal à:

En résolvant la jambe "b" pour multiplier les deux membres de l'égalité, nous avons:

b _* b = c _* m

b ² = c _* m

Ainsi, la valeur de la jambe "b" est donnée par:

Relation entre les théorèmes d'Euclide

Les théorèmes concernant la hauteur et les jambes sont liés les uns aux autres car la mesure des deux se fait par rapport à l'hypoténuse du triangle rectangle.

Par la relation des théorèmes d'Euclide, la valeur de la hauteur peut également être trouvée; cela est possible en résolvant les valeurs de m et n à partir du théorème de jambe et elles sont remplacées dans le théorème de hauteur. De cette façon, il est accompli que la hauteur est égale à la multiplication des jambes, divisée par l'hypoténuse:

b ² = c _* m

m = b ² ÷ c

a ² = c _* n

n = a ² ÷ c

Dans le théorème de hauteur, nous remplaçons m et n:

h _c ² = m _* n

h _c ² = (b ² ÷ c) _* (a ² ÷ c)

h _c = (b ² _* a ²) ÷ c

Exercices résolus

Exemple 1

Étant donné le triangle ABC, à droite en A, déterminez la mesure de AC et AD, si AB = 30 cm et BD = 18 cm

Solution

Dans ce cas, nous avons les mesures d'une des jambes projetées (BD) et d'une des jambes du triangle d'origine (AB). De cette façon, le théorème de jambe peut être appliqué pour trouver la valeur de la jambe BC.

AB ² = BD _* BC

(30) ² = 18 _* avant JC

900 = 18 _* avant JC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

La valeur de la jambe CD peut être trouvée sachant que BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 à 18 = 32 cm

Il est maintenant possible de déterminer la valeur de la jambe AC, en appliquant à nouveau le théorème de la jambe:

AC ² = CD _* BD

CA ² = 32 _* 50

AC ² = 160

AC = √1600 = 40 cm

Pour déterminer la valeur de la hauteur (AD), le théorème de hauteur est appliqué, car les valeurs des jambes projetées CD et BD sont connues:

AD ² = 32 _* 18

AD ² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Exemple 2

Déterminer la valeur de la hauteur (h) d'un triangle MNL, droite en N, connaissant les mesures des segments:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Solution

Nous avons la mesure d'une des jambes projetée sur l'hypoténuse (PM), ainsi que les mesures des jambes du triangle d'origine. De cette façon, le théorème de jambe peut être appliqué pour trouver la valeur de l'autre jambe projetée (LN):

NL ² = PM _* LM

(10) ² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Comme la valeur des jambes et de l'hypoténuse est déjà connue, à travers la relation des théorèmes de la hauteur et des jambes, la valeur de la hauteur peut être déterminée:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b ² _* a ²) ÷ c.

h = (10 ² _* 5 ²) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

Références

1. Braun, E. (2011). Chaos, fractales et choses étranges. Fonds de culture économique.
2. Cabrera, VM (1974). Mathématiques modernes, volume 3.
3. Daniel Hernandez, DP (2014). Mathématiques de 3e année. Caracas: Santillana.
4. Encyclopédie Britannica, i. (Année mille neuf cents quatre-vingts-quinze). Encyclopédie hispanique: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publishers.
5. Euclide, RP (1886). Éléments de géométrie d'Euclide.
6. Guardeño, AJ (2000). L'héritage des mathématiques: d'Euclide à Newton, les génies à travers leurs livres. Université de Séville.