ANGLES COMPLÉMENTAIRES: LESQUELS ET COMMENT ILS SONT CALCULÉS, EXEMPLES, EXERCICES - MATEMATIQUES - 2024

Deux angles ou plus sont des angles complémentaires si la somme de leurs mesures correspond à celle d'un angle droit. Comme on le sait, la mesure d'un angle droit en degrés est de 90 °, et en radians, elle est de π / 2.

Par exemple, les deux angles adjacents à l'hypoténuse d'un triangle rectangle sont complémentaires l'un de l'autre, puisque la somme de leurs mesures est de 90 °. La figure suivante est très illustrative à cet égard:

Figure 1. A gauche, plusieurs angles avec un sommet commun. À droite, un angle de 60 ° qui complète l'angle α (alpha). Source: F. Zapata.

Un total de quatre angles sont représentés sur la figure 1. α et β sont complémentaires puisqu'ils sont adjacents et que leur somme complète un angle droit. De même, β est complémentaire de γ, d'où il résulte que γ et α sont d'égale mesure.

Or, puisque la somme de α et δ est égale à 90 degrés, on peut dire que α et δ sont complémentaires. De plus, puisque β et δ ont le même α complémentaire, on peut dire que β et δ ont la même mesure.

Exemples d'angles complémentaires

Les exemples suivants demandent de trouver les angles inconnus, marqués par des points d'interrogation dans la figure 2.

Figure 2. Divers exemples d'angles complémentaires. Source: F. Zapata.

- Exemples A, B et C

Les exemples suivants sont classés par ordre de complexité.

Exemple A

Dans la figure ci-dessus, nous avons que les angles adjacents α et 40 ° s'additionnent à un angle droit. Autrement dit, α + 40º = 90º, donc α = 90º - 40º = 50º.

Exemple B

Puisque β est complémentaire de l'angle de 35 °, alors β = 90 ° - 35 ° = 55 °.

Exemple C

De la figure 2C nous avons que la somme de γ + 15º + 15º = 90º. En d'autres termes, γ est complémentaire de l'angle 30º = 15º + 15º. De manière que:

γ = 90º - 30º = 60º

- Exemples D, E et F

Dans ces exemples, plusieurs angles sont impliqués. Pour trouver les inconnues, le lecteur doit appliquer le concept d'angle complémentaire autant de fois que nécessaire.

Exemple D

Puisque X est complémentaire de 72 °, il s'ensuit que X = 90 ° - 72 ° = 18 °. De plus, Y est complémentaire de X, donc Y = 90º - 18º = 72º.

Enfin Z est complémentaire de Y. De tout ce qui précède, il s'ensuit que:

Z = 90 ° - 72 ° = 18 °

Exemple E

Les angles δ et 2δ sont complémentaires, donc δ + 2δ = 90º.

Autrement dit, 3δ = 90º, ce qui implique que δ = 90º / 3 = 30º.

Exemple F

Si nous appelons l'angle entre que et 10º U, alors U est complémentaire aux deux, car on observe que leur somme complète un angle droit. D'où il résulte que U = 80º. Puisque U est complémentaire de ω, alors ω = 10º.

Exercices

Trois exercices sont proposés ci-dessous. Dans chacun d'eux, la valeur des angles A et B en degrés doit être trouvée, de sorte que les relations indiquées sur la figure 3 soient remplies.

Figure 3. Illustrations pour des exercices d'angle complémentaires. Source: F. Zapata.

- Exercice 1

Déterminez les valeurs des angles A et B de la partie I) de la figure 3.

Solution

D'après la figure représentée, on peut voir que A et B sont complémentaires, donc A + B = 90º. Nous substituons l'expression pour A et B en fonction de x donnée dans la partie I):

(x / 2 + 7) + (2x + 15) = 90

Les termes sont ensuite regroupés de manière appropriée et une équation linéaire simple est obtenue:

(5x / 2) + 22 = 90

En soustrayant 22 dans les deux membres, nous avons:

5x / 2 = 90-22 = 68

Et enfin la valeur de x est effacée:

x = 2 * 68/5 = 136/5

Maintenant, l'angle A est trouvé en substituant la valeur de X:

A = (136/5) / 2 +7 = 103/5 = 20,6 º.

Alors que l'angle B est:

B = 2 * 136/5 + 15 = 347 / 5ème = 69,4 °.

- Exercice 2

Trouvez les valeurs des angles A et B de l'image II, figure 3.

Solution

Encore une fois, puisque A et B sont des angles complémentaires, il s'ensuit que: A + B = 90º. En remplaçant l'expression de A et B en fonction de x donnée dans la partie II) de la figure 3, nous avons:

(2x - 10) + (4x +40) = 90

Des termes similaires sont regroupés pour obtenir l'équation:

6 x + 30 = 90

En divisant les deux membres par 6, vous obtenez:

x + 5 = 15

D'où il résulte que x = 10º.

Donc:

A = 2 * 10 - 10 = 10º

B = 4 * 10 + 40 = 80º.

- Exercice 3

Déterminez les valeurs des angles A et B de la partie III) de la figure 3.

Solution

Là encore, la figure est soigneusement analysée pour trouver les angles complémentaires. Dans ce cas, nous avons que A + B = 90 degrés. En remplaçant l'expression de A et B en fonction de x donnée dans la figure, nous avons:

(-x +45) + (4x -15) = 90

3 x + 30 = 90

La division des deux membres par 3 donne les résultats suivants:

x + 10 = 30

D'où il résulte que x = 20º.

En d'autres termes, l'angle A = -20 +45 = 25º. Et pour sa part: B = 4 * 20 -15 = 65º.

Angles latéraux perpendiculaires

On dit que deux angles ont des côtés perpendiculaires si chaque côté a une perpendiculaire correspondante de l'autre. La figure suivante clarifie le concept:

Figure 4. Angles des côtés perpendiculaires. Source: F. Zapata.

Sur la figure 4, les angles α et θ sont observés, par exemple. Notez maintenant que chaque angle a sa perpendiculaire correspondante à l'autre angle.

On voit aussi que α et θ ont le même angle complémentaire z, donc l'observateur conclut immédiatement que α et θ ont la même mesure. Il semble alors que si deux angles ont des côtés perpendiculaires l'un à l'autre, ils sont égaux, mais regardons un autre cas.

Considérons maintenant les angles α et ω. Ces deux angles ont également des côtés perpendiculaires correspondants, mais on ne peut pas dire qu'ils sont d'égale mesure, car l'un est aigu et l'autre obtus.

Notez que ω + θ = 180º. De plus θ = α. Si vous remplacez cette expression par z dans la première équation, vous obtenez:

δ + α = 180º, où δ et α sont des angles de côtés perpendiculaires entre eux.

Règle générale pour les angles des côtés perpendiculaires

1. Baldor, JA 1973. Géométrie plane et spatiale. Culture d'Amérique centrale.
2. Lois et formules mathématiques. Systèmes de mesure d'angle. Récupéré de: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Géométrie de l'avion. Récupéré de: gutenberg.org.
4. Wikipédia. Angles complémentaires. Récupéré de: es.wikipedia.com
5. Wikipédia. Convoyeur. Récupéré de: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: histoire, pièces, fonctionnement. Récupéré de: lifeder.com