L' angle inscrit d'un cercle est celui qui a son sommet sur le cercle et ses rayons sont sécants ou tangents à celui-ci. En conséquence, l'angle inscrit sera toujours convexe ou plat.
Sur la figure 1, plusieurs angles inscrits dans leurs circonférences respectives sont représentés. L'angle ∠EDF s'inscrit en ayant son sommet D sur la circonférence et ses deux rayons =.
Dans un triangle isocèle, les angles adjacents à la base sont égaux, donc ∠BCO = ∠ABC = α. Par contre ∠COB = 180º - β.
En considérant la somme des angles internes du triangle COB, on a:
α + α + (180º - β) = 180º
D'où il résulte que 2 α = β, ou ce qui est équivalent: α = β / 2. Cela concorde avec ce que dit le théorème 1: la mesure de l'angle inscrit est la moitié de l'angle central, si les deux angles sous-tendent la même corde.
Démonstration 1b
Figure 6. Construction auxiliaire pour montrer que α = β / 2. Source: F. Zapata avec Geogebra.
Dans ce cas, nous avons un angle inscrit ∠ABC, dans lequel le centre O du cercle est dans l'angle.
Pour prouver le théorème 1 dans ce cas, dessinez le rayon auxiliaire).push ({});
De même, les angles centraux β 1 et β 2 sont adjacents audit rayon. Ainsi, nous avons la même situation que montrent 1a, ne peut donc dire que α 2 = β 2 /2 et a 1 = β 1 /2. Comme α = α 1 + α 2 et β = β 1 + β 2 ont donc α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2) / 2 = β / deux.
En conclusion α = β / 2, qui répond au théorème 1.
- Théorème 2
Figure 7. Angles inscrits d'égale mesure α, car ils sous-tendent le même arc A⌒C. Source: F. Zapata avec Geogebra.
- Théorème 3
Les angles inscrits qui sous-tendent les accords de la même mesure sont égaux.
Figure 8. Les angles inscrits qui sous-tendent des accords de mesure égale ont une mesure égale β. Source: F. Zapata avec Geogebra.
Exemples
- Exemple 1
Montrez que l'angle inscrit qui sous-tend le diamètre est un angle droit.
Solution
L'angle central ∠AOB associé au diamètre est un angle plan, dont la mesure est de 180º.
Selon le théorème 1, chaque angle inscrit dans la circonférence qui sous-tend la même corde (dans ce cas le diamètre), a pour mesure la moitié de l'angle central qui sous-tend la même corde, qui pour notre exemple est 180 ° / 2 = 90 °.
Figure 9. Chaque angle inscrit qui sous-tend le diamètre est un angle droit. Source: F. Zapata avec Geogebra.
- Exemple 2
La droite (BC) tangente en A à la circonférence C, détermine l'angle inscrit ∠BAC (voir figure 10).
Vérifiez que le théorème 1 des angles inscrits est satisfait.
Figure 10. Angle inscrit BAC et son angle central convexe AOA. Source: F. Zapata avec Geogebra.
Solution
L'angle ∠BAC est inscrit parce que son sommet est sur la circonférence, et ses côtés [AB) et [AC) sont tangents à la circonférence, donc la définition de l'angle inscrit est satisfaite.
En revanche, l'angle inscrit ∠BAC sous-tend l'arc A⌒A, qui est toute la circonférence. L'angle central qui sous-tend l'arc A⌒A est un angle convexe dont la mesure est l'angle complet (360º).
L'angle inscrit qui sous-tend tout l'arc mesure la moitié de l'angle central associé, c'est-à-dire ∠BAC = 360º / 2 = 180º.
Avec tout ce qui précède, il est vérifié que ce cas particulier satisfait au théorème 1.
Références
- Baldor. (1973). Géométrie et trigonométrie. Maison d'édition culturelle d'Amérique centrale.
- EA (2003). Éléments de géométrie: avec exercices et géométrie de la boussole. Université de Medellin.
- Géométrie 1er ESO. Angles sur la circonférence. Récupéré de: edu.xunta.es/
- Toute la science. Propositions d'exercices d'angles dans la circonférence. Récupéré de: francesphysics.blogspot.com
- Wikipédia. Angle inscrit. Récupéré de: es.wikipedia.com