Il y a une matrice orthogonale lorsque ladite matrice multipliée par sa transposée aboutit à la matrice d'identité. Si l'inverse d'une matrice est égal à la transposée, la matrice d'origine est orthogonale.
Les matrices orthogonales ont la caractéristique que le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes. En outre, les vecteurs de ligne sont des vecteurs orthogonaux unitaires et les vecteurs de ligne de transposition le sont également.
Figure 1. Exemple de matrice orthogonale et comment elle transforme les objets géométriques. (Préparé par Ricardo Pérez)
Lorsqu'une matrice orthogonale est multipliée par les vecteurs d'un espace vectoriel, elle produit une transformation isométrique, c'est-à-dire une transformation qui ne change pas les distances et préserve les angles.
Les matrices de rotation sont un représentant typique des matrices orthogonales. Les transformations de matrices orthogonales sur un espace vectoriel sont appelées transformations orthogonales.
Les transformations géométriques de rotation et de réflexion des points représentés par leurs vecteurs cartésiens sont réalisées en appliquant des matrices orthogonales sur les vecteurs originaux pour obtenir les coordonnées des vecteurs transformés. C'est pour cette raison que les matrices orthogonales sont largement utilisées dans le traitement de l'infographie.
Propriétés
Une matrice M est orthogonale si multipliée par sa transposée M T donne par conséquent la matrice identité I. De même, le produit de la transposée d'une matrice orthogonale par la matrice originale aboutit à la matrice identité:
MM T = M T M = I
Comme conséquence de l'énoncé précédent, nous avons que la transposée d'une matrice orthogonale est égale à sa matrice inverse:
M T = M -1 .
L'ensemble des matrices orthogonales de dimension nxn forme le groupe orthogonal O (n). Et le sous-ensemble de O (n) de matrices orthogonales de déterminant +1 forme le groupe de matrices spéciales unitaires SU (n). Les matrices du groupe SU (n) sont des matrices qui produisent des transformations linéaires de rotation, également appelées groupe de rotations.
Manifestation
Nous voulons montrer qu'une matrice est orthogonale si, et seulement si, les vecteurs lignes (ou vecteurs colonnes) sont orthogonaux entre eux et de norme 1.
Supposons que les lignes d'une matrice orthogonale nxn soient n vecteurs orthonormés de dimension n. S'il est noté v 1 , v 2 ,…., V n aux n vecteurs vaut:
Où il est évident qu'en effet l'ensemble des vecteurs lignes est un ensemble de vecteurs orthogonaux de norme un.
Exemples
Exemple 1
Montrer que la matrice 2 x 2 qui dans sa première ligne a le vecteur v1 = (-1 0) et dans sa deuxième ligne le vecteur v2 = (0 1) est une matrice orthogonale.
Solution: La matrice M est construite et sa transposée M T est calculée:
Dans cet exemple, la matrice M est auto-transposée, c'est-à-dire que la matrice et sa transposée sont identiques. Multipliez M par sa transposée M T:
On vérifie que MM T est égal à la matrice d'identité:
Lorsque la matrice M est multipliée par les coordonnées d'un vecteur ou d'un point, de nouvelles coordonnées sont obtenues qui correspondent à la transformation que la matrice effectue sur le vecteur ou le point.
La figure 1 montre comment M transforme le vecteur u en u ' et aussi comment M transforme le polygone bleu en polygone rouge. Puisque M est orthogonal, il s'agit alors d'une transformation orthogonale, qui préserve les distances et les angles.
Exemple 2
Supposons que vous ayez une matrice 2 x 2 définie dans les réels donnés par l'expression suivante:
Trouvez les valeurs réelles de a, b, c et d telles que la matrice M est une matrice orthogonale.
Solution: Par définition, une matrice est orthogonale si multipliée par sa transposée, la matrice identité est obtenue. En se rappelant que la matrice transposée est obtenue à partir de l'original, en échangeant des lignes contre des colonnes, l'égalité suivante est obtenue:
En effectuant une multiplication matricielle, nous avons:
En faisant correspondre les éléments de la matrice de gauche avec les éléments de la matrice d'identité de droite, on obtient un système de quatre équations à quatre inconnues a, b, c et d.
Nous proposons pour a, b, c et d les expressions suivantes en termes de rapports trigonométriques sinus et cosinus:
Avec cette proposition et en raison de l'identité trigonométrique fondamentale, les première et troisième équations sont automatiquement satisfaites dans l'égalité des éléments de la matrice. Les troisième et quatrième équations sont les mêmes et en égalité de matrice après avoir substitué les valeurs proposées, cela ressemble à ceci:
ce qui conduit à la solution suivante:
Enfin les solutions suivantes sont obtenues pour la matrice orthogonale M:
Notez que la première des solutions a le déterminant +1 donc elle appartient au groupe SU (2), tandis que la seconde solution a le déterminant -1 et n'appartient donc pas à ce groupe.
Exemple 3
Compte tenu de la matrice suivante, trouvez les valeurs de a et de b afin que nous ayons une matrice orthogonale.
Solution: Pour qu'une matrice donnée soit orthogonale, le produit avec sa transposée doit être la matrice identité. Ensuite, le produit matriciel de la matrice donnée avec sa matrice transposée est réalisé, donnant le résultat suivant:
Ensuite, le résultat est assimilé à la matrice d'identité 3 x 3:
Dans la deuxième ligne, la troisième colonne a (ab = 0), mais a ne peut pas être zéro, car sinon l'égalité des éléments de la deuxième ligne et de la deuxième colonne ne serait pas remplie. Alors nécessairement b = 0. En substituant b à la valeur 0, nous avons:
Ensuite, l'équation est résolue: 2a ^ 2 = 1, dont les solutions sont: + ½√2 et -½√2.
En prenant la solution positive pour a, la matrice orthogonale suivante est obtenue:
Le lecteur peut facilement vérifier que les vecteurs lignes (ainsi que les vecteurs colonnes) sont orthogonaux et unitaires, c'est-à-dire orthonormés.
Exemple 4
Montrer que la matrice A dont les vecteurs lignes sont v1 = (0, -1 0), v2 = (1, 0, 0) et v3 = (0 0 -1) est une matrice orthogonale. En outre, trouvez que les vecteurs sont transformés de la base canonique i, j, k en vecteurs u1, u2 et u3.
Solution: Il faut se rappeler que l'élément (i, j) d'une matrice multiplié par sa transposée, est le produit scalaire du vecteur de la ligne (i) par celui de la colonne (j) de la transposée. De plus, ce produit est égal au delta de Kronecker dans le cas où la matrice est orthogonale:
Dans notre cas, cela ressemble à ceci:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
Avec lequel on montre qu'il s'agit d'une matrice orthogonale.
De plus u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) et enfin u3 = A k = (0, 0, -1)
Références
- Anthony Nicolaides (1994) Déterminants et matrices. Passer la publication.
- Birkhoff et MacLane. (1980). Modern Algebra, éd. Vicens-Vives, Madrid.
- Casteleiro Villalba M. (2004) Introduction à l'algèbre linéaire. Éditorial ESIC.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Jenny Olive (1998) Maths: Guide de survie d'un étudiant. La presse de l'Universite de Cambridge.
- Richard J. Brown (2012) 30 secondes de mathématiques: les 50 théories les plus expansionnistes en mathématiques. Ivy Press Limited.
- Wikipédia. Matrice orthogonale. Récupéré de: es.wikipedia.com
- Wikipédia. Matrice orthogonale. Récupéré de: en.wikipedia.com