DISTANCE EUCLIDIENNE: CONCEPT, FORMULE, CALCUL, EXEMPLE - MATEMATIQUES - 2025

La distance euclidienne est un nombre positif qui indique la séparation entre deux points dans un espace où les axiomes et théorèmes de la géométrie d'Euclide sont remplis.

La distance entre deux points A et B dans un espace euclidien est la longueur du vecteur AB appartenant à la seule ligne qui passe par ces points.

Figure 1. Espace euclidien unidimensionnel formé par la ligne (OX). Plusieurs points sont indiqués sur ledit espace, leurs coordonnées et distances. (Préparé par Ricardo Pérez).

L'espace que les humains perçoivent et où nous nous déplaçons est un espace tridimensionnel (3-D), où les axiomes et les théorèmes de la géométrie d'Euclide sont remplis. Des sous-espaces bidimensionnels (plans) et des sous-espaces unidimensionnels (lignes) sont contenus dans cet espace.

Les espaces euclidiens peuvent être unidimensionnels (1-D), bidimensionnels (2-D), tridimensionnels (3-D) ou n-dimensionnels (nD).

Les points dans l'espace unidimensionnel X sont ceux qui appartiennent à la ligne orientée (OX), la direction de O à X est la direction positive. Pour localiser les points sur cette ligne, le système cartésien est utilisé, qui consiste à attribuer un numéro à chaque point de la ligne.

Formule

La distance euclidienne d (A, B) entre les points A et B, situés sur une ligne, est définie comme la racine carrée du carré des différences de leurs coordonnées X:

d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)

Cette définition garantit que: la distance entre deux points est toujours une quantité positive. Et que la distance entre A et B est égale à la distance entre B et A.

La figure 1 montre l'espace euclidien unidimensionnel formé par la ligne (OX) et plusieurs points sur ladite ligne. Chaque point a une coordonnée:

Le point A a la coordonnée XA = 2,5, la coordonnée du point B XB = 4 et la coordonnée du point C XC = -2,5

d (A, B) = √ ((4 - 2,5) 2) = 1,5

d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5

d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0

Distance euclidienne en deux dimensions

L'espace euclidien bidimensionnel est un plan. Les points d'un plan euclidien remplissent les axiomes de la géométrie euclidienne, par exemple:

- Une seule ligne passe par deux points.

- Trois points sur le plan forment un triangle dont les angles internes totalisent toujours 180 °.

- Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés de ses pattes.

En deux dimensions, un point a des coordonnées X et Y.

Par exemple, un point P a des coordonnées (XP, YP) ​​et un point Q coordonnées (XQ, YQ).

La distance euclidienne entre les points P et Q est définie par la formule suivante:

d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)

Il convient de noter que cette formule est équivalente au théorème de Pythagore, comme le montre la figure 2.

Figure 2. La distance entre deux points P et Q dans le plan satisfait au théorème de Pythagore. (Préparé par Ricardo Pérez).

Surfaces non euclidiennes

Tous les espaces bidimensionnels ne sont pas conformes à la géométrie euclidienne. La surface d'une sphère est un espace bidimensionnel.

Les angles d'un triangle sur une surface sphérique ne totalisent pas 180 ° et avec cela le théorème de Pythagore n'est pas rempli, donc une surface sphérique ne remplit pas les axiomes d'Euclide.

Distance euclidienne en n dimensions

Le concept de coordonnées peut être étendu à de plus grandes dimensions:

- En 2D, le point P a des coordonnées (XP, YP)

- En 3-D un point Q a des coordonnées (XQ, YQ, ZQ)

- En 4-D, le point R aura des coordonnées (XR, YR, ZR, WR)

- Dans nD un point P aura des coordonnées (P1, P2, P3,….., Pn)

La distance entre deux points P et Q d'un espace euclidien à n dimensions est calculée avec la formule suivante:

d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …….. + (Qn - Pn) ^ 2)

Le lieu de tous les points Q dans un espace euclidien à n dimensions équidistant d'un autre point fixe P (le centre) forme une hypersphère à n dimensions.

Comment calculer la distance euclidienne

Ce qui suit montre comment la distance entre deux points situés dans l'espace tridimensionnel euclidien est calculée.

Supposons le point A de coordonnées cartésiennes x, y, z donné par A:(2, 3, 1) et le point B de coordonnées B:(-3, 2, 2).

Nous voulons déterminer la distance entre ces points, pour laquelle on utilise la relation générale:

d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2)

d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5 196

Exemple

Il y a deux points P et Q. Le point P de coordonnées cartésiennes x, y, z donné par P:(2, 3, 1) et le point Q de coordonnées Q:(-3, 2, 1).

Il est demandé de trouver les coordonnées du milieu M du segment reliant les deux points.

Le point inconnu M est supposé avoir des coordonnées (X, Y, Z).

Puisque M est le milieu de, il doit être vrai que d (P, M) = d (Q, M), donc d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 doit également être vrai:

(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2

Comme dans ce cas, le troisième terme est égal dans les deux membres, l'expression précédente se simplifie en:

(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2

Nous avons alors une équation à deux inconnues X et Y. Une autre équation est nécessaire pour résoudre le problème.

Le point M appartient à la droite qui passe par les points P et Q, que nous pouvons calculer comme suit:

On trouve d'abord le vecteur directeur PQ de la droite: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.

Alors PM = OP + a PQ, où OP est le vecteur de position du point P et est un paramètre qui appartient aux nombres réels.

L'équation ci-dessus est connue sous le nom d'équation vectorielle de la ligne, qui en coordonnées cartésiennes prend la forme suivante:

<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>

En équivalant aux composants correspondants, nous avons:

X - 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0

Autrement dit, X = 4 - 5a, Y = 6 - a, enfin Z = 1.

Il est substitué dans l'expression quadratique qui relie X à Y:

(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2

C'est simplifié:

(2 - 5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2

Maintenant se déroule:

4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a

Il est simplifié, annulant les termes similaires dans les deux membres:

4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a

Le paramètre a est effacé:

52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52 résultant en a = 1.

Autrement dit, X = 4 - 5, Y = 6 - 1, enfin Z = 1.

Finalement, nous obtenons les coordonnées cartésiennes du milieu M du segment:

M: (-1, 5, 1).

Références

1. Lehmann C. (1972) Géométrie analytique. UTEHA.
2. Superprof. Distance entre deux points. Récupéré de: superprof.es
3. UNAM. Distance entre les variétés sous-linéaires affines. Récupéré de: prometeo.matem.unam.mx/
4. Wikipédia. Distance euclidienne. Récupéré de: es.wikipedia.com
5. Wikipédia. Espace euclidien. Récupéré de: es.wikipedia.com