CENTRE DE GRAVITÉ: PROPRIÉTÉS, CALCUL, EXEMPLES - PHYSIQUE - 2025

Le centre de gravité d'un corps de taille mesurable est le point où son poids est considéré comme appliqué. C'est donc l'un des principaux concepts de la statique.

La première approche dans les problèmes de physique élémentaire consiste à supposer que tout objet se comporte comme une masse ponctuelle, c'est-à-dire qu'il n'a pas de dimensions et que toute la masse est concentrée en un seul point. Ceci est valable pour une boîte, une voiture, une planète ou une particule subatomique. Ce modèle est connu sous le nom de modèle de particules.

Figure 1. Lors du saut en hauteur, l'athlète parvient à ce que son centre de gravité soit à l'extérieur du corps. Source: Pixabay

Il s'agit bien sûr d'une approximation, qui fonctionne très bien pour de nombreuses applications. Ce n'est pas une tâche facile de considérer le comportement individuel des milliers et des millions de particules que tout objet peut contenir.

Cependant, les dimensions réelles des choses doivent être prises en compte pour obtenir des résultats plus proches de la réalité. Puisque nous sommes généralement à proximité de la Terre, la force omniprésente sur tout corps est précisément le poids.

Considérations pour trouver le centre de gravité

Si la taille du corps doit être prise en compte, à quel endroit le poids doit-il être appliqué? Lorsque vous avez un objet continu de forme arbitraire, son poids est une force répartie entre chacune de ses particules constituantes.

Soit ces particules m ₁, m ₂, m ₃… Chacune d'elles subit sa force gravitationnelle correspondante m ₁ g, m ₂ g, m ₃ g…, toutes parallèles. Il en est ainsi, puisque le champ gravitationnel de la Terre est considéré comme constant dans la grande majorité des cas, puisque les objets sont petits par rapport à la taille de la planète et sont proches de sa surface.

Figure 2. Le poids de l'objet est une masse distribuée. Source: self made.

La somme vectorielle de ces forces donne le poids de l'objet, appliqué au point appelé centre de gravité désigné sur la figure par CG, qui coïncide alors avec le centre de masse. Le centre de masse est à son tour le point où toute la masse peut être considérée comme concentrée.

Le poids résultant a une magnitude Mg où M est la masse totale de l'objet, et bien sûr il est dirigé verticalement vers le centre de la Terre. La notation de sommation est utile pour exprimer la masse totale du corps:

Le centre de gravité ne coïncide pas toujours avec un point matériel. Par exemple, le centre de gravité d'un anneau est à son centre géométrique, là où il n'y a pas de masse elle-même. Même ainsi, si vous souhaitez analyser les forces agissant sur un cerceau, vous devez appliquer le poids à ce point précis.

Dans les cas où l'objet a une forme arbitraire, s'il est homogène, son centre de masse peut encore être calculé en trouvant le centroïde ou le centre de gravité de la figure.

Comment le centre de gravité est-il calculé?

En principe, si le centre de gravité (CG) et le centre de masse (cm) coïncident car le champ gravitationnel est uniforme, alors le cm peut être calculé et le poids lui est appliqué.

Considérons deux cas: le premier est celui où la distribution de masse est discrète; c'est-à-dire que chaque masse qui compose le système peut être comptée et affectée d'un nombre i, comme cela a été fait dans l'exemple précédent.

Les coordonnées du centre de masse pour une distribution de masse discrète sont:

Naturellement, la somme de toutes les masses est égale à la masse totale du système M, comme indiqué ci-dessus.

Les trois équations sont réduites à une forme compacte lorsqu'on considère le vecteur r _cm ou vecteur position du centre de masse:

Et dans le cas d'une distribution de masse continue, où les particules sont de taille différentielle et ne peuvent être distinguées pour les compter, la somme est remplacée par une intégrale qui se fait sur le volume occupé par l'objet en question:

Où r est le vecteur de position d'une masse différentielle dm et la définition de la masse volumique a été utilisée pour exprimer le différentiel de masse dm contenu dans un différentiel de volume dV:

Propriétés

Voici quelques considérations importantes concernant le centre de gravité:

- Bien qu'un système de référence soit nécessaire pour établir les positions, le centre de gravité ne dépend pas du choix fait du système, puisqu'il s'agit d'une propriété de l'objet.

- Lorsque l'objet a un axe ou un plan de symétrie, le centre de gravité est sur cet axe ou plan. Profiter de cette circonstance permet de gagner du temps de calcul.

- Toutes les forces externes agissant sur l'objet peuvent être appliquées au centre de gravité. Le suivi du mouvement de ce point donne une vue d'ensemble du mouvement de l'objet et facilite l'étude de son comportement.

-Trouver le centre de gravité d'un corps en équilibre statique

Supposons que vous vouliez que le corps de la figure précédente soit en équilibre statique, c'est-à-dire qu'il ne se déplace pas ou ne tourne pas autour d'un axe de rotation arbitraire qui peut être O.

Figure 3. Schéma de calcul du couple du poids par rapport au point O.

-Exemple résolu

Une fine barre de matériau uniforme mesure 6 m de long et pèse 30 N. Un poids de 50 N est suspendu à son extrémité gauche et un poids de 20 N est suspendu à son extrémité droite. Trouvez: a) la grandeur de la force ascendante nécessaire pour maintenir l'équilibre de la barre, b) le centre de gravité de l'assemblage.

Solution

Le diagramme de force est illustré dans la figure suivante. Le poids de la barre est appliqué à son centre de gravité, qui coïncide avec son centre géométrique. La seule dimension de la barre prise en compte est sa longueur, puisque le relevé indique qu'elle est mince.

Figure 4. Diagramme des forces pour la barre.

Pour que le système barre + poids reste en équilibre de translation, la somme des forces doit être nulle. Les forces sont verticales, si l'on considère up avec signe + et down avec signe - alors:

F- 50 - 20 - 30 N = 0

F = 100 N

Cette force garantit l'équilibre translationnel. Prendre les moments de torsion de toutes les forces par rapport à un axe passant par l'extrême gauche du système et appliquer la définition:

t = rx F

Les moments de toutes ces forces autour du point sélectionné sont perpendiculaires au plan de la barre:

Donc:

Le centre de gravité de l'ensemble barre + poids est situé à 2,10 mètres de l'extrémité gauche de la barre.

Différence par rapport au centre de gravité

Le centre de gravité coïncide avec le centre de masse, comme indiqué, tant que le champ gravitationnel de la Terre est constant pour tous les points de l'objet à considérer. Le champ gravitationnel de la Terre n'est rien de plus que la valeur bien connue et familière de g = 9,8 m / s ² dirigée verticalement vers le bas.

Bien que la valeur de g varie avec la latitude et l'altitude, ceux-ci n'affectent généralement pas les objets qui sont la plupart du temps discutés. Ce serait très différent si vous considérez un gros corps à proximité de la Terre, par exemple un astéroïde très proche de la planète.

L'astéroïde a son propre centre de masse, mais son centre de gravité ne devrait plus coïncider avec celui-ci, car g subirait probablement des variations substantielles de magnitude, étant donné la taille de l'astéroïde et que les poids de chaque particule pourraient ne pas être parallèles.

Une autre différence fondamentale est que le centre de masse est trouvé, qu'il y ait ou non une force appelée poids appliquée à l'objet. C'est une propriété intrinsèque de l'objet qui nous révèle comment sa masse est répartie par rapport à sa géométrie.

Le centre de gravité existe, qu'il y ait un poids appliqué ou non. Et il est situé dans la même position même si l'objet se déplace vers une autre planète dans laquelle le champ gravitationnel est différent.

En revanche, le centre de gravité est clairement lié à l'application du poids, comme nous l'avons vu tout au long des paragraphes précédents.

Exemples de centre de gravité

Centre de gravité d'objets irréguliers

Il est très facile de savoir où se trouve le centre de gravité d'un objet irrégulier tel qu'une tasse. Tout d'abord, il est suspendu à n'importe quel point et à partir de là, une ligne verticale est dessinée (sur la figure 5, il s'agit de la ligne fuchsia dans l'image de gauche).

Il est ensuite suspendu à un autre point et une nouvelle verticale est dessinée (ligne turquoise sur l'image de droite). L'intersection des deux lignes est le centre de gravité de la coupe.

Figure 5. Emplacement CG d'une tasse. Source: modifié de Pixabay.

Objets d'équilibrage

Analysons la stabilité d'un camion roulant sur la route. Lorsque le centre de gravité est au-dessus de la base du camion, le camion ne basculera pas. L'image de gauche est la position la plus stable.

Figure 6. Équilibrage du chariot. Source: self made.

Même lorsque le camion s'incline vers la droite, il pourra revenir à une position d'équilibre stable, comme dans le dessin du milieu, puisque la verticale passe toujours par la base. Cependant, lorsque cette ligne sort, le camion bascule.

Le diagramme montre les forces au point d'appui: normal en jaune, poids en vert et frottement statique à gauche en fuchsia. La normale et le frottement sont appliqués à l'axe de rotation, de sorte qu'ils n'exercent pas de couple. Par conséquent, ils ne contribueront pas à renverser le camion.

Le poids reste, ce qui exerce un couple, heureusement dans le sens antihoraire et qui tend à ramener le camion dans sa position d'équilibre. Notez que la ligne verticale traverse la surface d'appui, qui est le pneu.

Lorsque le chariot est dans la position la plus à droite, le couple du poids change dans le sens des aiguilles d'une montre. Ne pouvant être contré une autre fois, le camion se renversera.

Références

1. Bauer, W. 2011. Physique pour l'ingénierie et les sciences. Volume 1. Mc Graw Hill. 247-253.
2. Giancoli, D. 2006. Physique: principes et applications. 6ème.. Ed Prentice Hall. 229-238.
3. Resnick, R. (1999). Physique. Vol. 1. 3e éd. En espagnol. Compañía Editorial Continental SA de CV 331-341.
4. Rex, A. 2011. Fondamentaux de la physique. Pearson. 146-155.
5. Sears, Zemansky. 2016. Physique universitaire et physique moderne. 14e. Ed. Volume 1,340-346.