BASE ORTHONORMALE: PROPRIÉTÉS, EXEMPLES ET EXERCICES - PHYSIQUE - 2025

Une base orthonormée est formée avec des vecteurs perpendiculaires entre eux et dont le module est également 1 (vecteurs unitaires). Rappelons qu'une base B dans un espace vectoriel V est définie comme un ensemble de vecteurs linéairement indépendants capables de générer ledit espace.

À son tour, un espace vectoriel est une entité mathématique abstraite dont les éléments sont des vecteurs, généralement associés à des grandeurs physiques telles que la vitesse, la force et le déplacement, ou encore à des matrices, des polynômes et des fonctions.

Figure 1. Base orthonormée dans le plan. Source: Wikimedia Commons. Quartl.

Les vecteurs ont trois éléments distinctifs: la magnitude ou le module, la direction et le sens. Une base orthonormée est particulièrement utile pour les représenter et fonctionner avec eux, car tout vecteur appartenant à un certain espace vectoriel V peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs qui forment la base orthonormée.

De cette manière, les opérations entre vecteurs, telles que l'addition, la soustraction et les différents types de produits définis dans ledit espace, sont exécutées analytiquement.

Parmi les bases les plus utilisées en physique se trouve la base formée par les vecteurs unitaires i, j et k qui représentent les trois directions distinctives de l'espace tridimensionnel: hauteur, largeur et profondeur. Ces vecteurs sont également appelés vecteurs canoniques unitaires.

Si, au contraire, les vecteurs sont travaillés dans un plan, deux de ces trois composantes suffiraient, tandis que pour les vecteurs unidimensionnels, un seul est requis.

Propriétés des bases

1- Une base B est le plus petit ensemble possible de vecteurs qui génèrent l'espace vectoriel V.

2- Les éléments de B sont linéairement indépendants.

3- Toute base B d'un espace vectoriel V, permet d'exprimer tous les vecteurs de V comme une combinaison linéaire de celui-ci et cette forme est unique pour chaque vecteur. Pour cette raison, B est également connu sous le nom de système de génération.

4- Le même espace vectoriel V peut avoir des bases différentes.

Exemples de bases

Voici plusieurs exemples de bases orthonormées et de bases en général:

La base canonique en ℜ

Aussi appelé base naturelle ou base standard de ℜ ⁿ, où ℜ ⁿ est un espace à n dimensions, par exemple un espace à trois dimensions est ℜ ³. La valeur de n est appelée la dimension de l'espace vectoriel et est notée dim (V).

Tous les vecteurs appartenant à ℜ ⁿ sont représentés par des n-annonces ordonnées. Pour l'espace ℜ ⁿ, la base canonique est:

e ₁ = <1,0,…, 0>; e ₂ = <0,1,…, 0>; …….. e _n = <0,0,…, 1>

Dans cet exemple, nous avons utilisé la notation entre crochets ou «crochets» et en gras pour les vecteurs unitaires e ₁, e ₂, e ₃…

La base canonique en ℜ

Les vecteurs familiers i, j et k admettent cette même représentation et tous trois suffisent à représenter les vecteurs en ℜ ³:

i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>

Cela signifie que la base peut être exprimée comme ceci:

B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

Pour vérifier qu'ils sont linéairement indépendants, le déterminant formé avec eux est non nul et également égal à 1:

Il doit également être possible d'écrire n'importe quel vecteur appartenant à ℜ ³ comme une combinaison linéaire de ceux-ci. Par exemple, une force dont les composantes rectangulaires sont F _x = 4 N, F _y = -7 N et F _z = 0 N s'écrirait sous forme vectorielle comme ceci:

F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.

Donc i, j et k constituent un système générateur de ℜ ³.

Autres bases orthonormées en ℜ

La base standard décrite dans la section précédente n'est pas la seule base orthonormée dans ℜ ³. Ici nous avons par exemple les bases:

B ₁ = {; <- sin θ, cos θ, 0>; <0,0,1>}

B ₂ = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0>; <0,0,1>}

On peut montrer que ces bases sont orthonormées, pour cela on retient les conditions qui doivent être remplies:

-Les vecteurs qui forment la base doivent être orthogonaux les uns aux autres.

-Chacun d'eux doit être unitaire.

On peut le vérifier en sachant que le déterminant formé par eux doit être non nul et égal à 1.

La base B ₁ est précisément celle des coordonnées cylindriques ρ, φ et z, une autre manière d'exprimer des vecteurs dans l'espace.

Figure 2. Coordonnées cylindriques. Source: Wikimedia Commons. Mordu de mathématiques.

Exercices résolus

- Exercice 1

Montrer que la base B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0>; <0,0,1>} est orthonormé.

Solution

Pour montrer que les vecteurs sont perpendiculaires l'un à l'autre, nous utiliserons le produit scalaire, également appelé produit interne ou scalaire de deux vecteurs.

Soit deux vecteurs u et v quelconques, leur produit scalaire est défini par:

u • v = uv cosθ

Pour distinguer les vecteurs de leurs modules, nous utiliserons du gras pour la première et normale pour la seconde. θ est l'angle entre u et v, donc s'ils sont perpendiculaires, cela signifie que θ = 90º et le produit scalaire est nul.

Alternativement, si les vecteurs sont donnés en fonction de leurs composantes: u =x, u _y, u _z > y v =x, v _y, v _z >, le produit scalaire des deux, qui est commutatif, est calculé de cette manière:

u • v = u _x.v _x + u _y.v _y + u _z.v _z

De cette manière, les produits scalaires entre chaque paire de vecteurs sont respectivement:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

Pour la deuxième condition, le module de chaque vecteur est calculé, ce qui est obtenu par:

│u │ = √ (u _x ² + u _y ² + u _z ²)

Ainsi, les modules de chaque vecteur sont:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0,1> │ = √ = 1

Par conséquent, tous les trois sont des vecteurs unitaires. Enfin, le déterminant qu'ils forment est non nul et égal à 1:

- Exercice 2

Écrivez les coordonnées du vecteur w = <2, 3,1> en fonction de la base ci-dessus.

Solution

Pour ce faire, le théorème suivant est utilisé:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ +… < w • v _n > v _n

Cela signifie que nous pouvons écrire le vecteur en base B, en utilisant les coefficients < w • v ₁ >, < w • v ₂ >,… < w • v _n >, pour lesquels il faut calculer les produits scalaires indiqués:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1.0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1.0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

Avec les produits scalaires obtenus, une matrice est construite, appelée matrice de coordonnées w.

Les coordonnées du vecteur w dans la base B sont donc exprimées par:

_B =

La matrice de coordonnées n'est pas le vecteur, car un vecteur n'est pas le même que ses coordonnées. Ce ne sont qu'un ensemble de nombres qui servent à exprimer le vecteur dans une base donnée, pas le vecteur en tant que tel. Ils dépendent également de la base choisie.

Enfin, suivant le théorème, le vecteur w serait exprimé comme suit:

w = (18/5) v ₁ + (1/5) v ₂ + v ₃

Avec: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; v ₂ = <- 4/5, 3 / 5,0>; v ₃ = <0,0,1>}, c'est-à-dire les vecteurs de la base B.

Références

1. Larson, R. Fondations de l'algèbre linéaire. 6e. Édition. Apprentissage Cengage.
2. Larson, R. 2006. Calculus. 7ème. Édition. Volume 2. McGraw Hill.
3. Salas, J. Algèbre linéaire. Unité 10. Bases orthonormales. Récupéré de: ocw.uc3m.es.
4. Université de Séville. Coordonnées cylindriques. Base de vecteur. Récupéré de: laplace.us.es.
5. Wikipédia. Base orthonormée. Récupéré de: es.wikipedia.org.