ANALYSE DIMENSIONNELLE: TECHNIQUES, PRINCIPE ET EXERCICES - PHYSIQUE - 2024

L' analyse dimensionnelle est un outil largement utilisé dans diverses branches de la science et de l'ingénierie pour mieux comprendre les phénomènes impliquant la présence de différentes grandeurs physiques. Les grandeurs ont des dimensions et à partir de celles-ci les différentes unités de mesure sont dérivées.

L'origine du concept de dimension se trouve chez le mathématicien français Joseph Fourier, qui l'a inventé. Fourier a également compris que pour que deux équations soient comparables, elles doivent être homogènes par rapport à leurs dimensions. En d'autres termes, les mètres ne peuvent pas être ajoutés aux kilogrammes.

Ainsi, l'analyse dimensionnelle est chargée d'étudier les grandeurs, les dimensions et l'homogénéité des équations physiques. Pour cette raison, il est fréquemment utilisé pour vérifier les relations et les calculs, ou pour construire des hypothèses sur des questions complexes qui peuvent ensuite être testées expérimentalement.

De cette manière, l'analyse dimensionnelle est un outil parfait pour détecter les erreurs dans les calculs en vérifiant la congruence ou l'incohérence des unités utilisées, en mettant un accent particulier sur les unités des résultats finaux.

De plus, l'analyse dimensionnelle est utilisée pour concevoir des expériences systématiques. Il permet de réduire le nombre d'expériences nécessaires, ainsi que de faciliter l'interprétation des résultats obtenus.

L'une des bases fondamentales de l'analyse dimensionnelle est qu'il est possible de représenter toute quantité physique comme un produit des puissances d'une plus petite quantité, appelées grandeurs fondamentales dont les autres sont dérivées.

Grandeurs fondamentales et formule dimensionnelle

En physique, les grandeurs fondamentales sont considérées comme celles qui permettent à d'autres de s'exprimer en fonction de celles-ci. Par convention, on a choisi: longueur (L), temps (T), masse (M), intensité du courant électrique (I), température (θ), intensité lumineuse (J) et quantité de substance (N).

Au contraire, les autres sont considérés comme des quantités dérivées. Certains d'entre eux sont: la surface, le volume, la densité, la vitesse, l'accélération, entre autres.

Une formule dimensionnelle est définie comme l'égalité mathématique qui présente la relation entre une quantité dérivée et les fondamentales.

Techniques d'analyse dimensionnelle

Il existe différentes techniques ou méthodes d'analyse dimensionnelle. Deux des plus importants sont les suivants:

Méthode Rayleigh

Rayleigh, qui avec Fourier a été l'un des précurseurs de l'analyse dimensionnelle, a développé une méthode directe et très simple qui nous permet d'obtenir des éléments sans dimension. Dans cette méthode, les étapes suivantes sont suivies:

1- La fonction caractère potentiel de la variable dépendante est définie.

2- Chaque variable est modifiée par ses dimensions correspondantes.

3- Les équations de condition d'homogénéité sont établies.

4- Les np inconnues sont définies.

5- Les exposants qui ont été calculés et fixés dans l'équation de potentiel sont substitués.

6- Les groupes de variables sont déplacés pour définir les nombres sans dimension.

Méthode de Buckingham

Cette méthode est basée sur le théorème de Buckingham ou le théorème pi, qui stipule ce qui suit:

S'il existe une relation dimensionnelle homogène entre un nombre «n» de grandeurs physiques ou variables où «p» différentes dimensions fondamentales sont incluses, il existe également une relation dimensionnellement homogène entre n - p, groupes sans dimension indépendants.

Principe d'homogénéité dimensionnelle

Le principe de Fourier, également connu sous le nom de principe d'homogénéité dimensionnelle, affecte la bonne structuration des expressions qui lient algébriquement les grandeurs physiques.

C'est un principe qui a une cohérence mathématique et stipule que la seule option est de soustraire ou d'ajouter des quantités physiques de même nature. Par conséquent, il n'est pas possible d'ajouter une masse avec une longueur, ni un temps avec une surface, etc.

De même, le principe stipule que pour que les équations physiques soient dimensionnellement correctes, le total des termes des membres des deux côtés de l'égalité doit avoir la même dimension. Ce principe permet de garantir la cohérence des équations physiques.

Principe de similarité

Le principe de similitude est une extension du caractère d'homogénéité dimensionnelle des équations physiques. Il est indiqué comme suit:

Les lois physiques restent inchangées face aux changements de dimensions (taille) d'un événement physique dans le même système d'unités, qu'il s'agisse de changements de nature réelle ou imaginaire.

L'application la plus claire du principe de similitude se produit dans l'analyse des propriétés physiques d'un modèle réalisé à plus petite échelle, pour utiliser ultérieurement les résultats dans l'objet en taille réelle.

Cette pratique est essentielle dans des domaines tels que la conception et la fabrication d'avions et de navires et dans les grands ouvrages hydrauliques.

Applications

Les nombreuses applications de l'analyse dimensionnelle incluent celles énumérées ci-dessous.

- Localiser d'éventuelles erreurs dans les opérations effectuées

- Résoudre des problèmes dont la résolution présente des difficultés mathématiques insurmontables.

- Concevoir et analyser des modèles à petite échelle.

- Faites des observations sur la façon dont les modifications possibles influencent un modèle.

En outre, l'analyse dimensionnelle est utilisée assez fréquemment dans l'étude de la mécanique des fluides.

La pertinence de l'analyse dimensionnelle en mécanique des fluides est due à la difficulté d'établir des équations dans certains écoulements ainsi qu'à la difficulté de les résoudre, il est donc impossible d'établir des relations empiriques. Pour cette raison, il est nécessaire de recourir à la méthode expérimentale.

Exercices résolus

Premier exercice

Trouvez l'équation dimensionnelle de la vitesse et de l'accélération.

Solution

Puisque v = s / t, il est vrai que: = L / T = L ∙ T ^-1

Pareillement:

a = v / t

= L / T ² = L ∙ T ^-2

Deuxième exercice

Déterminez l'équation dimensionnelle de la quantité de mouvement.

Solution

Puisque l'impulsion est le produit de la masse et de la vitesse, il est vrai que p = m ∙ v

Pourtant:

= M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T ^-2

Références

1. Analyse dimensionnelle (nd). Sur Wikipedia. Récupéré le 19 mai 2018 sur es.wikipedia.org.
2. Analyse dimensionnelle (nd). Sur Wikipedia. Récupéré le 19 mai 2018 sur en.wikipedia.org.
3. Langhaar, HL (1951), Analyse dimensionnelle et théorie des modèles, Wiley.
4. Fidalgo Sánchez, José Antonio (2005). Physique et chimie. Everest
5. David C. Cassidy, Gerald James Holton, Floyd James Rutherford (2002). Comprendre la physique. Birkhäuser.