MOMENT D'INERTIE: FORMULES, ÉQUATIONS ET EXEMPLES DE CALCULS - PHYSIQUE - 2025

Le moment d'inertie d'un corps rigide par rapport à un certain axe de rotation représente sa résistance au changement de sa vitesse angulaire autour dudit axe. Il est proportionnel à la masse et également à l'emplacement de l'axe de rotation, car le corps, en fonction de sa géométrie, peut tourner plus facilement autour de certains axes que dans d'autres.

Supposons un grand objet (composé de nombreuses particules) qui peut tourner autour d'un axe. Supposons qu'une force F agit, appliquée tangentiellement sur l'élément de masse Δm _i, qui produit un couple ou moment, donné par τ _net = ∑ r _i x F _i. Le vecteur r _i est la position de Δm _i (voir figure 2).

Figure 1. Moments d'inertie de différentes figures. Source: Wikimedia Commons.

Ce moment est perpendiculaire au plan de rotation (direction + k = sortie du papier). La force et le vecteur de position radiale étant toujours perpendiculaires, le produit croisé reste:

τ _net = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i) k

Figure 2. Une particule appartenant à un solide rigide en rotation. Source: Serway, R. 2018. Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 1. Apprentissage Cengage.

L'accélération a _i représente la composante tangentielle de l'accélération, puisque l'accélération radiale ne contribue pas au couple. En fonction de l'accélération angulaire α, on peut indiquer que:

Par conséquent, le couple net ressemble à ceci:

τ _net = ∑ Δm _i (α r _i ²) k = (∑ r _i ² Δm _i) α k

L'accélération angulaire α est la même pour tout l'objet, donc elle n'est pas affectée par l'indice «i» et peut sortir de la sommation, qui est précisément le moment d'inertie de l'objet symbolisé par la lettre I:

C'est le moment d'inertie d'une distribution de masse discrète. Lorsque la distribution est continue, la sommation est remplacée par une intégrale et Δm devient un différentiel de masse dm. L'intégrale est réalisée sur l'ensemble de l'objet:

Les unités pour le moment d'inertie dans le SI International System sont le kg xm ². C'est une grandeur scalaire et positive, puisqu'elle est le produit d'une masse et du carré d'une distance.

Exemples de calcul

Un objet étendu, tel qu'une barre, un disque, une sphère ou autre, dont la densité ρ est constante et sachant que la densité est le rapport masse-volume, le différentiel de masse dm s'écrit:

En substituant dans l'intégrale le moment d'inertie, on a:

Il s'agit d'une expression générale, valable pour un objet tridimensionnel, dont le volume V et la position r sont des fonctions des coordonnées spatiales x, y et z. Notez qu'étant constante, la densité est en dehors de l'intégrale.

La densité ρ est également appelée densité apparente, mais si l'objet est très plat, comme une feuille ou très fin et étroit comme une tige, d'autres formes de densité peuvent être utilisées, voyons:

- Pour une feuille très mince, la densité à utiliser est σ, la densité surfacique (masse surfacique) et dA est le différentiel de surface.

- Et s'il s'agit d'une barre fine, où seule la longueur est pertinente, la densité de masse linéaire λ et un différentiel de longueur sont utilisés, selon l'axe utilisé comme référence.

Dans les exemples qui suivent, tous les objets sont considérés comme rigides (non déformables) et ont une densité uniforme.

Moment d'inertie d'une barre mince par rapport à un axe passant par son centre

Ici, nous allons calculer le moment d'inertie d'une barre mince, rigide, homogène, de longueur L et de masse M, par rapport à un axe qui traverse le milieu.

Tout d'abord, il est nécessaire d'établir un système de coordonnées et de construire une figure avec la géométrie appropriée, comme ceci:

Figure 3. Géométrie pour calculer le moment d'inertie d'une tige mince par rapport à un axe vertical passant par son centre. Source: F. Zapata.

L'axe x le long de la barre et l'axe y a été choisi comme axe de rotation. La procédure pour établir l'intégrale nécessite également de choisir un différentiel de masse sur la barre, appelé dm, qui a une longueur différentielle dx et se situe à la position arbitraire x, par rapport au centre x = 0.

Selon la définition de la masse volumique linéaire λ:

La densité étant uniforme, ce qui est valable pour M et L, elle est également valable pour dm et dx:

Par contre, la masse élémentaire est en position x, donc en substituant cette géométrie dans la définition, on a une intégrale définie, dont les limites sont les extrémités de la barre selon le repère:

En remplaçant la densité linéaire λ = M / L:

Pour trouver le moment d'inertie de la barre par rapport à un autre axe de rotation, par exemple celui qui passe par l'une de ses extrémités, vous pouvez utiliser le théorème de Steiner (voir exercice résolu à la fin) ou effectuer un calcul direct similaire à celui illustré ici, mais en modifiant la géométrie de manière appropriée.

Moment d'inertie d'un disque par rapport à un axe passant par son centre

Un disque très mince d'épaisseur négligeable est une figure plate. Si la masse est uniformément répartie sur toute la surface de la zone A, la densité de masse σ est:

Les deux dm et dA correspondent à la masse et à la surface de l'anneau différentiel représenté sur la figure. Nous supposerons que l'ensemble de l'assemblage tourne autour de l'axe y.

Vous pouvez imaginer que le disque est composé de nombreux anneaux concentriques de rayon r, chacun avec son moment d'inertie respectif. En additionnant les contributions de tous les anneaux jusqu'à atteindre le rayon R, on aura le moment d'inertie total du disque.

Figure 4. Géométrie pour calculer le moment d'inertie d'un disque, par rapport à l'axe axial. Source: F. Zapata.

Où M représente la masse entière du disque. La surface d'un disque dépend de son rayon r comme:

Dérivation par rapport à r:

En remplaçant ce qui précède dans la définition de I:

En substituant σ = M / (π.R ²), on obtient:

Moment d'inertie d'une sphère solide autour d'un diamètre

Une sphère de rayon R peut être considérée comme une série de disques empilés les uns sur les autres, où chaque disque de masse infinitésimale dm, de rayon r et d'épaisseur dz, a un moment d'inertie donné par:

Pour trouver ce différentiel, nous avons simplement pris la formule de la section précédente et substitué M et R pour dm et r, respectivement. Un disque comme celui-ci peut être vu dans la géométrie de la figure 5.

Figure 5. Géométrie pour calculer le moment d'inertie d'une sphère solide de rayon R par rapport à un axe passant par un diamètre. Source: F. Zapata.

En additionnant tous les moments d'inertie infinitésimaux des disques empilés, on obtient le moment d'inertie total de la sphère:

Ce qui équivaut à:

Pour résoudre l'intégrale, vous devez exprimer dm de manière appropriée. Comme toujours, il est obtenu à partir de la densité:

Le volume d'un disque différentiel est:

La hauteur du disque est l'épaisseur dz, tandis que l'aire de la base est πr ², donc:

Et en remplaçant dans l'intégrale proposée, cela ressemblerait à ceci:

Mais avant d'intégrer, nous devons observer que r –le rayon du disque- dépend de z et R –le rayon de la sphère-, comme on peut le voir sur la figure 5. En utilisant le théorème de Pythagore:

Ce qui nous amène à:

Pour intégrer sur toute la sphère, on note que z varie entre –R et R, donc:

Sachant que ρ = M / V = ​​M / est finalement obtenu, après avoir simplifié:

Moment d'inertie d'un cylindre plein par rapport à l'axe axial

Pour cet objet, une méthode similaire à celle utilisée pour la sphère est utilisée, mais cette fois c'est plus facile si le cylindre est imaginé comme étant constitué de coques cylindriques de rayon r, d'épaisseur dr et de hauteur H, comme s'il s'agissait des couches d'un oignon..

Figure 6. Géométrie pour calculer le moment d'inertie d'un cylindre solide de rayon R par rapport à l'axe axial. Source: Serway, R. 2018. Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 1. Cengage.

Le volume dV d'une couche cylindrique est:

Par conséquent, la masse de la coquille est:

Cette expression est substituée dans la définition du moment d'inertie:

L'équation ci-dessus indique que le moment d'inertie du cylindre ne dépend pas de sa longueur, mais uniquement de sa masse et de son rayon. Si L devait changer, le moment d'inertie autour de l'axe axial resterait le même. Pour cette raison, I du cylindre coïncide avec celui du disque mince précédemment calculé.

Moment d'inertie d'une feuille rectangulaire par rapport à un axe passant par son centre

L'axe horizontal y a été choisi comme axe de rotation. La figure ci-dessous montre la géométrie requise pour réaliser l'intégration:

Figure 7. Géométrie de calcul du moment d'inertie d'une plaque rectangulaire par rapport à un axe parallèle à la feuille et passant par son centre. Source: F. Zapata.

L'élément de zone marqué en rouge est rectangulaire. Sa superficie est base x hauteur, donc:

Par conséquent, le différentiel de masse est:

Quant à la distance entre l'élément surfacique et l'axe de rotation, elle est toujours z. Nous substituons tout cela à l'intégrale du moment d'inertie:

Maintenant, la densité de masse surfacique σ est remplacée par:

Et cela ressemble vraiment à ceci:

Notez que c'est comme la barre fine.

Moment d'inertie d'une feuille carrée par rapport à un axe passant par son centre

Pour un carré de côté L, dans l'expression précédente valable pour un rectangle, remplacez simplement la valeur de b par celle de L:

Théorèmes du moment d'inertie

Il existe deux théorèmes particulièrement utiles pour simplifier le calcul des moments d'inertie par rapport aux autres axes, qui pourraient autrement être difficiles à trouver en raison du manque de symétrie. Ces théorèmes sont:

Théorème de Steiner

Aussi appelé théorème des axes parallèles, il relie le moment d'inertie par rapport à un axe à un autre qui passe par le centre de masse de l'objet, tant que les axes sont parallèles. Pour l'appliquer, il faut connaître la distance D entre les deux axes et bien entendu la masse M de l'objet.

Soit I _z le moment d'inertie d'un objet étendu par rapport à l'axe z, I _CM le moment d'inertie par rapport à un axe passant par le centre de masse (CM) dudit objet, alors il est vrai que:

Ou dans la notation de la figure suivante: I _{z '} = I _z + Md ²

Figure 8. Théorème de Steiner ou axes parallèles. Source: Wikimedia Commons. Jack See

Théorème des axes perpendiculaires

Ce théorème est appliqué aux surfaces planes et va comme ceci: le moment d'inertie d'un objet plan autour d'un axe qui lui est perpendiculaire est la somme des moments d'inertie autour de deux axes perpendiculaires au premier axe:

Figure 9. Théorème des axes perpendiculaires. Source: F. Zapata.

Si l'objet a une symétrie telle que I _x et I _y sont égaux, alors il est vrai que:

Exercice résolu

Trouvez le moment d'inertie de la barre par rapport à un axe qui passe par l'une de ses extrémités, comme illustré sur la figure 1 (ci-dessous et à droite) et la figure 10.

Figure 10. Moment d'inertie d'une barre homogène autour d'un axe passant par une extrémité. Source: F. Zapata.

Solution:

On a déjà le moment d'inertie de la barre autour d'un axe qui passe par son centre géométrique. Puisque la barre est homogène, son centre de masse est à ce point, donc ce sera notre I _CM pour appliquer le théorème de Steiner.

Si la longueur de la barre est L, l'axe z est à une distance D = L / 2, donc:

Références

1. Bauer, W. 2011. Physique pour l'ingénierie et les sciences. Volume 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Fondamentaux de la physique. Pearson. 190-200.
3. Théorème de l'axe parallèle. Récupéré de: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 1. Cengage.
5. Université de Séville. Moment d'inertie des solides sphériques. Récupéré de: laplace.us.es.
6. Université de Séville. Moment d'inertie d'un système de particules. Récupéré de: laplace.us.es.
7. Wikipédia. Théorème d'axe parallèle. Récupéré de: en.wikipedia.org