TECHNIQUES DE COMPTAGE: TECHNIQUES, APPLICATIONS, EXEMPLES, EXERCICES - DUDAS - 2025

Les techniques de comptage sont une série de méthodes probabilistes pour compter le nombre d'arrangements possibles au sein d'un ensemble ou de plusieurs ensembles d'objets. Ceux-ci sont utilisés lorsque la gestion manuelle des comptes devient compliquée en raison du grand nombre d'objets et / ou de variables.

Par exemple, la solution à ce problème est très simple: imaginez que votre patron vous demande de compter les derniers produits arrivés dans la dernière heure. Dans ce cas, vous pouvez aller compter les produits un par un.

Cependant, imaginez que le problème est le suivant: votre patron vous demande de compter combien de groupes de 5 produits du même type peuvent être formés avec ceux qui sont arrivés dans la dernière heure. Dans ce cas, le calcul est compliqué. Pour ce type de situation, les techniques dites de comptage sont utilisées.

Ces techniques sont diverses, mais les plus importantes sont divisées en deux principes de base, qui sont le multiplicatif et l'additif; permutations et combinaisons.

Principe multiplicatif

Applications

Le principe multiplicatif, ainsi que l'additif, sont fondamentaux pour comprendre le fonctionnement des techniques de comptage. Dans le cas du multiplicatif, il comprend les éléments suivants:

Imaginons une activité qui implique un nombre spécifique d'étapes (nous marquons le total comme «r»), où la première étape peut être effectuée de N1 façons, la deuxième étape en N2 et l'étape «r» de Nr façons. Dans ce cas, l'activité pourra être réalisée à partir du nombre de formes résultant de cette opération: N1 x N2 x ……….x Nr formes

C'est pourquoi ce principe est appelé multiplicatif, et il implique que chacune des étapes nécessaires à la réalisation de l'activité doit être effectuée l'une après l'autre.

Exemple

Imaginons une personne qui veut construire une école. Pour ce faire, considérez que la base du bâtiment peut être construite de deux manières différentes, en ciment ou en béton. Quant aux murs, ils peuvent être en adobe, en ciment ou en brique.

Quant au toit, il peut être en ciment ou en tôle galvanisée. Enfin, la peinture finale ne peut être réalisée que d'une seule manière. La question qui se pose est la suivante: de combien de façons dispose-t-il pour construire l'école?

Tout d'abord, nous considérons le nombre de marches, qui seraient la base, les murs, le toit et la peinture. Au total, 4 étapes, donc r = 4.

Ce qui suit serait de lister les N:

N1 = façons de construire la base = 2

N2 = façons de construire les murs = 3

N3 = façons de faire le toit = ​​2

N4 = manières de peindre = 1

Par conséquent, le nombre de formes possibles serait calculé à l'aide de la formule décrite ci-dessus:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 façons de faire l'école.

Principe additif

Applications

Ce principe est très simple, et il consiste dans le fait que, dans le cas où il existe plusieurs alternatives pour réaliser la même activité, les voies possibles consistent en la somme des différentes voies possibles pour réaliser toutes les alternatives.

En d'autres termes, si nous voulons réaliser une activité avec trois alternatives, où la première alternative peut être faite de M voies, la seconde de N voies et la dernière de W voies, l'activité peut se faire en: M + N + ……… + Formes W.

Exemple

Imaginons cette fois une personne qui souhaite acheter une raquette de tennis. Pour ce faire, vous avez le choix entre trois marques: Wilson, Babolat ou Head.

Lorsque vous allez au magasin, vous voyez que la raquette Wilson peut être achetée avec la poignée dans deux tailles différentes, L2 ou L3 dans quatre modèles différents et elle peut être enfilée ou non cordée.

La raquette Babolat, quant à elle, possède trois poignées (L1, L2 et L3), il existe deux modèles différents et elle peut également être enfilée ou non cordée.

La raquette Head, quant à elle, n'est disponible qu'avec une seule poignée, la L2, en deux modèles différents et uniquement non cordée. La question est: de combien de façons cette personne doit-elle acheter sa raquette?

M = Nombre de façons de sélectionner une raquette Wilson

N = Nombre de façons de sélectionner une raquette Babolat

W = Nombre de façons de sélectionner une raquette Head

Nous appliquons le principe du multiplicateur:

M = 2 x 4 x 2 = 16 formes

N = 3 x 2 x 2 = 12 voies

W = 1 x 2 x 1 = 2 voies

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 façons de choisir une raquette.

Pour savoir quand utiliser le principe multiplicatif et l'additif, il suffit de regarder si l'activité a une série d'étapes à effectuer, et s'il y a plusieurs alternatives, l'additif.

Permutations

Applications

Pour comprendre ce qu'est une permutation, il est important d'expliquer ce qu'est une combinaison afin de pouvoir les différencier et savoir quand les utiliser.

Une combinaison serait un agencement d'éléments dans lequel nous ne sommes pas intéressés par la position que chacun d'eux occupe.

Une permutation, en revanche, serait un agencement d'éléments dans lequel nous nous intéresserons à la position que chacun d'eux occupe.

Mettons un exemple pour mieux comprendre la différence.

Exemple

Imaginons une classe de 35 élèves, et avec les situations suivantes:

1. L'enseignant souhaite que trois de ses élèves l'aident à garder la salle de classe propre ou à distribuer du matériel aux autres élèves en cas de besoin.
2. L'enseignant souhaite désigner les délégués de classe (un président, un assistant et un financier).

La solution serait la suivante:

1. Imaginons que par vote, Juan, María et Lucía soient choisis pour nettoyer la classe ou livrer le matériel. Évidemment, d'autres groupes de trois auraient pu être formés, parmi les 35 étudiants possibles.

Il faut se poser la question suivante: l'ordre ou la position de chaque élève est-il important lors de sa sélection?

Si nous y réfléchissons, nous voyons que ce n’est vraiment pas important, puisque le groupe sera également en charge des deux tâches. Dans ce cas, c'est une combinaison, puisque nous ne sommes pas intéressés par la position des éléments.

1. Imaginons maintenant que Juan soit élu président, Maria comme assistante et Lucia comme financière.

Dans ce cas, la commande importerait-elle? La réponse est oui, car si on change les éléments, le résultat change. Autrement dit, si au lieu de mettre Juan comme président, nous le mettons comme assistant et María comme présidente, le résultat final changerait. Dans ce cas, c'est une permutation.

Une fois la différence comprise, nous allons obtenir les formules des permutations et des combinaisons. Cependant, nous devons d'abord définir le terme "n!" (ene factorial), car il sera utilisé dans les différentes formules.

n! = le produit de 1 à n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ………..xn

L'utiliser avec des nombres réels:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3 628 800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

La formule des permutations serait la suivante:

nPr = n! / (nr)!

Avec lui, nous pouvons découvrir les arrangements où l'ordre est important et où les n éléments sont différents.

Combinaisons

Applications

Comme nous l'avons commenté précédemment, les combinaisons sont les arrangements où nous ne nous soucions pas de la position des éléments.

Sa formule est la suivante:

nCr = n! / (nr)! r!

Exemple

S'il y a 14 étudiants qui veulent se porter volontaires pour nettoyer la salle de classe, combien de groupes de nettoyage peuvent être formés si chaque groupe doit être composé de 5 personnes?

La solution serait donc la suivante:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 groupes

Exercices résolus

Exercice 1

Source: Pixabay.com

Natalia est invitée par sa mère à se rendre dans une épicerie et à lui acheter un soda pour se rafraîchir. Lorsque Natalia demande au greffier de prendre un verre, il lui dit qu'il existe quatre saveurs de boissons gazeuses, trois types et trois tailles.

Les saveurs des boissons gazeuses peuvent être: cola, citron, orange et menthe.

Les types de cola peuvent être: régulier, sans sucre, sans caféine.

Les tailles peuvent être: petites, moyennes et grandes.

La mère de Natalia n'a pas précisé quel type de boisson gazeuse elle voulait. De combien de façons Natalia doit-elle acheter la boisson?

Solution

M = Numéro de taille et de type que vous pouvez sélectionner lors du choix du cola.

N = Nombre de taille et de type que vous pouvez sélectionner lors du choix du soda au citron.

W = Numéro de taille et de type que vous pouvez sélectionner lors du choix du soda à l'orange.

Y = Numéro de taille et de type que vous pouvez sélectionner lors du choix de votre soda à la menthe.

Nous appliquons le principe du multiplicateur:

M = 3 × 3 = 9 voies

N = 3 × 3 = 9 voies

W = 3 × 3 = 9 voies

Y = 3 × 3 = 9 voies

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 façons de sélectionner le soda.

Exercice 2

Source: pixabay.com

Un club de sport propose des ateliers en accès libre pour que les enfants apprennent à patiner. 20 enfants sont inscrits, ils décident donc de les diviser en deux groupes de dix personnes afin que les moniteurs puissent enseigner les cours plus confortablement.

À leur tour, ils décident de dessiner dans quel groupe chaque enfant appartiendra. Dans combien de groupes différents un enfant peut-il entrer?

Solution

Dans ce cas, la manière de trouver une réponse consiste à utiliser la technique de combinaison, dont la formule était: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (nombre d'enfants)

r = 10 (taille du groupe)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10! / 10! 10! = 184 756 groupes.

Références

1. Jeffrey, RC, Probability and the Art of Judgment, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, "Une introduction à la théorie des probabilités et ses applications", (Vol 1), 3e éd. (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Fondements logiques et mesure de la probabilité subjective". Acta Psychologica.
4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Introduction à la statistique mathématique (6e éd.). Rivière Saddle supérieure: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) La science des conjectures: preuves et probabilités avant Pascal, Johns Hopkins University Press.