- D'où vient la règle empirique?
- Théorème de Tchebyshev
- Distribution normale
- Comment appliquer la règle empirique?
- 1- Construire les intervalles de la règle
- 2- Calculez le nombre d'élèves dans chaque intervalle en fonction des pourcentages
- 3- Les intervalles d'âge sont associés au nombre d'élèves et interprètent
- À quoi sert la règle d'or?
- Exercices résolus
- Lapins dans la réserve
- Poids moyen des enfants dans un pays
- Références
Une règle d'or est le résultat d'une expérience pratique et d'une observation de la vie réelle. Par exemple, il est possible de savoir quelles espèces d'oiseaux peuvent être observées à certains endroits à chaque période de l'année et à partir de cette observation, une «règle» peut être établie décrivant les cycles de vie de ces oiseaux.
En statistique, la règle empirique fait référence à la manière dont les observations sont regroupées autour d'une valeur centrale, la moyenne ou moyenne, en unités d'écart type.
Supposons que vous ayez un groupe de personnes avec une taille moyenne de 1,62 mètre et un écart type de 0,25 mètre, alors la règle empirique nous permettrait de définir, par exemple, combien de personnes seraient dans un intervalle de la moyenne plus ou moins un écart type?
Selon la règle, 68% des données représentent plus ou moins un écart-type par rapport à la moyenne, c'est-à-dire que 68% des personnes du groupe auront une taille comprise entre 1,37 (1,62-0,25) et 1,87 (1,62 + 0,25) mètres.
D'où vient la règle empirique?
La règle empirique est une généralisation du théorème de Tchebyshev et de la distribution normale.
Théorème de Tchebyshev
Le théorème de Tchebyshev dit que: pour une valeur de k> 1, la probabilité qu'une variable aléatoire se situe entre la moyenne moins k fois l'écart-type et la moyenne plus k fois, l'écart-type est supérieur ou égal à (1 - 1 / k 2).
L'avantage de ce théorème est qu'il est appliqué à des variables aléatoires discrètes ou continues avec n'importe quelle distribution de probabilité, mais la règle qui en est définie n'est pas toujours très précise, car elle dépend de la symétrie de la distribution. Plus la distribution de la variable aléatoire est asymétrique, moins son comportement sera ajusté à la règle.
La règle empirique définie à partir de ce théorème est:
Si k = √2, 50% des données sont dites être dans l'intervalle:
Si k = 2, 75% des données sont dites être dans l'intervalle:
Si k = 3, 89% des données sont dites être dans l'intervalle:
Distribution normale
La distribution normale, ou cloche gaussienne, permet d'établir la règle empirique ou règle 68 - 95 - 99.7.
La règle est basée sur les probabilités d'occurrence d'une variable aléatoire dans des intervalles entre la moyenne moins un, deux ou trois écarts-types et la moyenne plus un, deux ou trois écarts-types.
La règle empirique définit les intervalles suivants:
68,27% des données sont dans l'intervalle:
95,45% des données sont dans l'intervalle:
99,73% des données se trouvent dans l'intervalle:
Dans la figure, vous pouvez voir comment ces intervalles sont présentés et la relation entre eux lors de l'augmentation de la largeur de la base du graphique.
Règle empirique. Melikamp La standardisation de la variable aléatoire, c'est-à-dire l'expression de la variable aléatoire en termes de z ou variable normale standard, simplifie l'utilisation de la règle empirique, puisque la variable z a une moyenne égale à zéro et un écart type égal à un.
Par conséquent, l'application de la règle empirique à l'échelle d'une variable normale standard, z, définit les intervalles suivants:
68,27% des données sont dans l'intervalle:
95,45% des données sont dans l'intervalle:
99,73% des données se trouvent dans l'intervalle:
Comment appliquer la règle empirique?
La règle empirique permet des calculs abrégés lorsque l'on travaille avec une distribution normale.
Supposons qu'un groupe de 100 étudiants a un âge moyen de 23 ans, avec un écart type de 2 ans. Quelles informations la règle empirique permet-elle d'obtenir?
L'application de la règle empirique implique de suivre les étapes:
1- Construire les intervalles de la règle
Étant donné que la moyenne est de 23 et que l'écart type est de 2, les intervalles sont:
= =
= =
= =
2- Calculez le nombre d'élèves dans chaque intervalle en fonction des pourcentages
(100) * 68,27% = 68 étudiants environ
(100) * 95,45% = 95 étudiants environ
(100) * 99,73% = 100 étudiants environ
3- Les intervalles d'âge sont associés au nombre d'élèves et interprètent
Au moins 68 élèves ont entre 21 et 25 ans.
Au moins 95 élèves ont entre 19 et 27 ans.
Près de 100 étudiants ont entre 17 et 29 ans.
À quoi sert la règle d'or?
La règle empirique est un moyen rapide et pratique d'analyser les données statistiques, devenant de plus en plus fiable à mesure que la distribution se rapproche de la symétrie.
Son utilité dépend du domaine dans lequel il est utilisé et des questions qui sont posées. Il est très utile de savoir que l'apparition de valeurs de trois écarts types en dessous ou au-dessus de la moyenne est presque improbable, même pour des variables de distribution non normales, au moins 88,8% des cas sont dans l'intervalle des trois sigma.
En sciences sociales, un résultat généralement concluant est la fourchette de la moyenne plus ou moins deux sigma (95%), alors qu'en physique des particules, un nouvel effet nécessite un intervalle de cinq sigma (99,99994%) pour être considéré comme une découverte.
Exercices résolus
Lapins dans la réserve
Dans une réserve faunique, on estime qu'il y a en moyenne 16 000 lapins avec un écart type de 500 lapins. Si la distribution de la variable «nombre de lapins dans la réserve» est inconnue, est-il possible d'estimer la probabilité que la population de lapins soit comprise entre 15 000 et 17 000 lapins?
L'intervalle peut être présenté en ces termes:
15000 = 16000 - 1000 = 16000 - 2 (500) = µ - 2 s
17000 = 16000 + 1000 = 16000 + 2 (500) = µ + 2 s
Par conséquent: =
En appliquant le théorème de Tchebyshev, nous avons une probabilité d'au moins 0,75 que la population de lapins dans la réserve faunique se situe entre 15 000 et 17 000 lapins.
Poids moyen des enfants dans un pays
Le poids moyen des enfants d'un an dans un pays est normalement distribué avec une moyenne de 10 kilogrammes et un écart type d'environ 1 kilogramme.
a) Estimer le pourcentage d'enfants d'un an dans le pays dont le poids moyen est compris entre 8 et 12 kilogrammes.
8 = 10 - 2 = 10 - 2 (1) = µ - 2 s
12 = 10 + 2 = 10 + 2 (1) = µ + 2 s
Par conséquent: =
Selon la règle empirique, on peut affirmer que 68,27% des enfants d'un an dans le pays pèsent entre 8 et 12 kilogrammes.
b) Quelle est la probabilité de trouver un enfant d'un an pesant 7 kilogrammes ou moins?
7 = 10 - 3 = 10 - 3 (1) = µ - 3 s
On sait que 7 kilogrammes de poids représentent la valeur µ - 3s, et on sait que 99,73% des enfants pèsent entre 7 et 13 kilogrammes de poids. Cela ne laisse que 0,27% du total des enfants pour les extrêmes. La moitié d'entre eux, 0,135%, pèsent 7 kilogrammes ou moins et l'autre moitié, 0,135%, sont de 11 kilogrammes ou plus.
Ainsi, on peut conclure qu'il y a une probabilité de 0,00135 qu'un enfant pèse 7 kilogrammes ou moins.
c) Si la population du pays atteint 50 millions d'habitants et que les enfants d'un an représentent 1% de la population du pays, combien d'enfants d'un an pèseront entre 9 et 11 kilogrammes?
9 = 10 - 1 = µ - s
11 = 10 + 1 = µ + s
Par conséquent: =
Selon la règle empirique, 68,27% des enfants d'un an dans le pays sont dans l'intervalle
Il y a 500 000 enfants d'un an dans le pays (1% de 50 millions), donc 341 350 enfants (68,27% de 500 000) pèsent entre 9 et 11 kilogrammes.
Références
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- Lind, D.; Marchal, W.; Wathen, S. (2012). Statistiques appliquées aux entreprises et à l'économie. Quinzième éd. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
- Salinas, H. (2010). Statistiques et probabilités. Récupéré de uda.cl.
- Sokal, R.; Rohlf, F. (2009). Introduction à la biostatistique. Deuxième éd. Publications de Douvres, Inc.
- Spiegel, M. (1976). Probabilité et statistique. Série Schaum. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
- Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Statistiques. Quatrième éd. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
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