QU'EST-CE QUE LE CLASSEMENT DANS LES STATISTIQUES? (AVEC DES EXEMPLES) - DUDAS - 2025

La plage, la plage ou l'amplitude, en statistique, est la différence (soustraction) entre la valeur maximale et la valeur minimale d'un ensemble de données provenant d'un échantillon ou d'une population. Si la plage est représentée par la lettre R et que les données sont représentées par x, la formule de la plage est simplement:

R = x _max - x _min

Où x _max est la valeur maximale des données et x _min est la valeur minimale.

Figure 1. Gamme de données correspondant à la population de Cadix au cours des deux derniers siècles. Source: Wikimedia Commons.

Le concept est très utile comme simple mesure de dispersion pour apprécier rapidement la variabilité des données, car il indique l'extension ou la longueur de l'intervalle où elles se trouvent.

Par exemple, supposons que la taille d'un groupe de 25 étudiants en génie de sexe masculin de première année dans une université soit mesurée. L'élève le plus grand du groupe mesure 1,93 m et le plus petit 1,67 m. Ce sont les valeurs extrêmes des exemples de données, leur chemin est donc:

R = 1,93 - 1,67 m = 0,26 m ou 26 cm.

La taille des élèves de ce groupe est répartie le long de cette plage.

Avantages et inconvénients

La plage est, comme nous l'avons déjà dit, une mesure de la répartition des données. Une petite plage indique que les données sont plus ou moins proches et que l'écart est faible. D'un autre côté, une plage plus large indique que les données sont plus dispersées.

Les avantages du calcul de la portée sont évidents: il est très facile et rapide à trouver, car il s'agit d'une simple différence.

Il a également les mêmes unités que les données avec lesquelles il fonctionne et le concept est très facile à interpréter pour tout observateur.

Dans l'exemple de la taille des élèves ingénieurs, si la portée avait été de 5 cm, on dirait que les élèves sont tous à peu près de la même taille. Mais avec une portée de 26 cm, nous supposons immédiatement qu'il y a des élèves de toutes les hauteurs intermédiaires dans l'échantillon. Cette hypothèse est-elle toujours correcte?

Inconvénients de la portée comme mesure de la dispersion

Si l'on regarde attentivement, il se peut que sur notre échantillon de 25 élèves-ingénieurs, un seul d'entre eux mesure 1,93 et ​​les 24 autres ont des hauteurs proches de 1,67 m.

Et pourtant la portée reste la même, bien que l'inverse soit parfaitement possible: que la hauteur de la majorité se situe autour de 1,90 m et qu'une seule mesure 1,67 m.

Dans les deux cas, la distribution des données est assez différente.

Les inconvénients de la distance comme mesure de dispersion sont parce qu'elle n'utilise que des valeurs extrêmes et ignore toutes les autres. Étant donné que la plupart des informations sont perdues, vous n'avez aucune idée de la manière dont les exemples de données sont distribués.

Une autre caractéristique importante est que la gamme de l'échantillon ne diminue jamais. Si nous ajoutons plus d'informations, c'est-à-dire que nous considérons plus de données, la plage augmente ou reste la même.

Et dans tous les cas, il n'est utile que lorsque vous travaillez avec de petits échantillons, sa seule utilisation comme mesure de dispersion dans de grands échantillons n'est pas recommandée.

Ce qu'il faut faire, c'est le compléter par le calcul d'autres mesures de dispersion qui tiennent compte des informations fournies par les données totales: intervalle interquartile, variance, écart-type et coefficient de variation.

Intervalle interquartile, quartiles et exemple travaillé

Nous nous sommes rendu compte que la faiblesse de la plage en tant que mesure de la dispersion est qu'elle n'utilise que les valeurs extrêmes de la distribution des données, en omettant les autres.

Pour éviter cet inconvénient, des quartiles sont utilisés: trois valeurs appelées mesures de position.

Ils répartissent les données non groupées en quatre parties (les autres mesures de position largement utilisées sont les déciles et les centiles). Voici ses caractéristiques:

-Le premier quartile Q ₁ est la valeur des données telles que 25% d'entre elles sont inférieures à Q ₁.

-Le deuxième quartile Q ₂ est la médiane de la distribution, ce qui signifie que la moitié (50%) des données est inférieure à cette valeur.

-Enfin, le troisième quartile Q ₃ indique que 75% des données sont inférieures à Q ₃.

Ensuite, l'intervalle interquartile ou intervalle interquartile est défini comme la différence entre le troisième quartile Q ₃ et le premier quartile Q ₁ des données:

Intervalle interquartile = R _Q = Q ₃ - Q ₁

De cette manière, la valeur de la plage R _{Q n'est} pas tellement affectée par des valeurs extrêmes. Pour cette raison, il est conseillé de l'utiliser pour traiter des distributions asymétriques, telles que celles des élèves très grands ou très petits décrites ci-dessus.

- Calcul des quartiles

Il y a plusieurs manières de les calculer, ici nous en proposerons une, mais dans tous les cas il faut connaître le numéro d'ordre "N _o ", qui est la place qu'occupe le quartile respectif dans la distribution.

Autrement dit, si par exemple le terme qui correspond à Q ₁ est le deuxième, le troisième ou le quatrième et ainsi de suite de la distribution.

Premier quartile

N _ou (Q ₁) = (N + 1) / 4

Deuxième quartile ou médiane

N _ou (Q ₂) = (N + 1) / 2

Troisième quartile

N _ou (Q ₃) = 3 (N + 1) / 4

Où N est le nombre de données.

La médiane est la valeur qui se trouve juste au milieu de la distribution. Si le nombre de données est impair, il n'y a aucun problème à le trouver, mais s'il est pair, alors les deux valeurs centrales sont moyennées pour devenir une.

Une fois le numéro de commande calculé, l'une de ces trois règles est suivie:

-S'il n'y a pas de décimales, les données indiquées dans la distribution sont recherchées et ce sera le quartile recherché.

-Lorsque le numéro d'ordre est à mi-chemin entre deux, les données indiquées par la partie entière sont moyennées avec les données suivantes, et le résultat est le quartile correspondant.

-Dans tous les autres cas, il est arrondi à l'entier le plus proche et ce sera la position du quartile.

Exemple travaillé

Sur une échelle de 0 à 20, un groupe de 16 étudiants en mathématiques I ont obtenu les notes (points) suivantes à un examen de mi-session:

16, 10, 12, 8, 9, 15, 18, 20, 9, 11, 1, 13, 17, 9, 10, 14

Trouver:

a) La plage ou la plage des données.

b) Les valeurs des quartiles Q ₁ et Q ₃

c) L'intervalle interquartile.

Figure 2. Les scores à ce test de mathématiques présentent-ils autant de variabilité? Source: Pixabay.

Solution pour

La première chose à faire pour trouver l'itinéraire est de classer les données par ordre croissant ou décroissant. Par exemple, dans l'ordre croissant, vous avez:

1, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20

En utilisant la formule donnée au début: R = x _max - x _min

R = 20 - 1 points = 19 points.

Selon le résultat, ces notes ont une grande dispersion.

Solution b

N = 16

N _ou (Q ₁) = (N + 1) / 4 = (16 + 1) / 4 = 17/4 = 4,25

C'est un nombre avec décimales, dont la partie entière est 4. Puis on passe à la distribution, on cherche les données qui occupent la quatrième place et sa valeur est moyennée avec celle de la cinquième position. Puisqu'ils sont tous les deux 9, la moyenne est également 9 et donc:

Q ₁ = 9

Maintenant, nous répétons la procédure pour trouver Q ₃:

N _ou (Q ₃) = 3 (N + 1) / 4 = 3 (16 +1) / 4 = 12,75

Encore une fois, il s'agit d'un décimal, mais comme il n'est pas à mi-chemin, il est arrondi à 13. Le quartile recherché occupe la treizième position et est:

Q ₃ = 16

Solution c

R _Q = Q ₃ - Q ₁ = 16 - 9 = 7 points.

Ce qui, comme on peut le voir, est beaucoup plus petit que la plage de données calculée dans la section a), car le score minimum était de 1 point, une valeur bien plus éloignée des autres.

Références

1. Berenson, M. 1985. Statistiques de gestion et d'économie. Interamericana SA
2. Canavos, G. 1988. Probabilité et statistiques: applications et méthodes. McGraw Hill.
3. Devore, J. 2012. Probabilité et statistiques pour l'ingénierie et la science. 8ème. Édition. Cengage.
4. Exemples de quartiles. Récupéré de: matematicas10.net.
5. Levin, R. 1988. Statistiques pour les administrateurs. 2ème. Édition. Prentice Hall.
6. Walpole, R. 2007. Probabilité et statistiques pour l'ingénierie et les sciences. Pearson.