PROBABILITÉ CONDITIONNELLE: FORMULE ET ÉQUATIONS, PROPRIÉTÉS, EXEMPLES - DUDAS - 2025

La probabilité conditionnelle est la possibilité d'occurrence d'un certain événement, étant donné qu'un autre se produit en tant que condition. Ces informations supplémentaires peuvent (ou non) modifier la perception que quelque chose va se passer.

Par exemple, on peut se demander: "Quelle est la probabilité qu'il pleuve aujourd'hui, étant donné qu'il n'a pas plu depuis deux jours?" L'événement dont nous voulons connaître la probabilité est qu'il pleut aujourd'hui, et l'information supplémentaire qui conditionnerait la réponse est qu '«il n'a pas plu depuis deux jours».

Figure 1. La probabilité qu'il pleuve aujourd'hui étant donné qu'il a plu hier est également un exemple de probabilité conditionnelle. Source: Pixabay.

Soit un espace de probabilité composé de Ω (espace d'échantillonnage), ℬ (les événements aléatoires) et P (la probabilité de chaque événement), plus les événements A et B qui appartiennent à ℬ.

La probabilité conditionnelle que A se produise, étant donné que B s'est produit, qui est notée P (A│B), est définie comme suit:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A et B) / P (B)

Où: P (A) est la probabilité d'occurrence de A, P (B) est la probabilité de l'événement B et est différent de 0, et P (A∩B) est la probabilité de l'intersection entre A et B, c'est-à-dire,, la probabilité que les deux événements se produisent (probabilité conjointe).

C'est une expression du théorème de Bayes appliqué à deux événements, proposée en 1763 par le théologien et mathématicien anglais Thomas Bayes.

Propriétés

-Toute probabilité conditionnelle est comprise entre 0 et 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

-La probabilité que l'événement A se produise, étant donné que ledit événement se produit, est évidemment de 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-Si deux événements sont exclusifs, c'est-à-dire des événements qui ne peuvent pas se produire simultanément, alors la probabilité conditionnelle que l'un d'entre eux se produise est 0, car l'intersection est nulle:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-Si B est un sous-ensemble de A, alors la probabilité conditionnelle est également 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

Important

P (A│B) n'est généralement pas égal à P (B│A), il faut donc veiller à ne pas intervertir les événements lors de la recherche de la probabilité conditionnelle.

Règle générale de multiplication

Plusieurs fois, vous voulez trouver la probabilité conjointe P (A∩B), plutôt que la probabilité conditionnelle. Ensuite, à travers le théorème suivant, nous avons:

P (A∩B) = P (A et B) = P (A│B). P (B)

Le théorème peut être étendu pour trois événements A, B et C:

P (A∩B∩C) = P (A et B et C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

Et aussi pour divers événements, tels que A ₁, A ₂, A ₃ et plus, il peut être exprimé comme suit:

P (A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃ … ∩ A _n) = P (A ₁). P (A ₂ │A ₁). P (A ₃ │A ₁ ∩ A ₂)… P (A _n ││A ₁ ∩ A ₂ ∩… A _n-1)

Lorsqu'il s'agit d'événements qui se produisent en séquence et à travers différentes étapes, il est pratique d'organiser les données dans un diagramme ou un tableau. Cela facilite la visualisation des options pour atteindre la probabilité demandée.

Des exemples sont l'arborescence et la table de contingence. À partir de l'un d'eux, vous pouvez construire l'autre.

Exemples de probabilité conditionnelle

Regardons quelques situations dans lesquelles les probabilités d'un événement sont modifiées par l'occurrence d'un autre:

- Exemple 1

Deux types de gâteaux sont vendus dans une confiserie: la fraise et le chocolat. En enregistrant les préférences de 50 clients des deux sexes, les valeurs suivantes ont été déterminées:

-27 femmes, dont 11 préfèrent le gâteau aux fraises et 16 le chocolat.

-23 hommes: 15 choisissent le chocolat et 8 la fraise.

La probabilité qu'un client choisisse un gâteau au chocolat peut être déterminée en appliquant la règle de Laplace, selon laquelle la probabilité de tout événement est:

P = nombre d'événements favorables / nombre total d'événements

Dans ce cas, sur 50 clients, un total de 31 préfèrent le chocolat, la probabilité serait donc P = 31/50 = 0,62. Autrement dit, 62% des clients préfèrent le gâteau au chocolat.

Mais serait-ce différent si le client est une femme? C'est un cas de probabilité conditionnelle.

Tableau de contingence

En utilisant un tableau de contingence comme celui-ci, les totaux sont facilement affichés:

Ensuite, les cas favorables sont observés et la règle de Laplace est appliquée, mais nous définissons d'abord les événements:

-B est l'événement «cliente féminine».

-A est l'événement "Préférez le gâteau au chocolat" en tant que femme.

Nous allons à la colonne intitulée «femmes» et là nous voyons que le total est de 27.

Ensuite, le cas favorable est recherché dans la rangée "chocolat". Il y a 16 de ces événements, donc la probabilité recherchée est, directement:

P (A│B) = 16/27 = 0,5924

59,24% des clientes préfèrent le gâteau au chocolat.

Cette valeur correspond lorsque nous la comparons à la définition initialement donnée de la probabilité conditionnelle:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Nous nous assurons d'utiliser la règle de Laplace et les valeurs de la table:

P (B) = 27/50

P (A et B) = 16/50

Où P (A et B) est la probabilité que le client préfère le chocolat et soit une femme. Maintenant, les valeurs sont remplacées:

P (A│B) = P (A et B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.

Et il est prouvé que le résultat est le même.

- Exemple 2

Dans cet exemple, la règle de multiplication s'applique. Supposons que des pantalons de trois tailles soient exposés dans un magasin: petit, moyen et grand.

Dans un lot avec un total de 24 pantalons, dont il y en a 8 de chaque taille et tous sont mélangés, quelle serait la probabilité d'en extraire deux et qu'ils soient tous deux petits?

Il est clair que la probabilité de retirer un petit pantalon à la première tentative est de 8/24 = 1/3. Or, la deuxième extraction est conditionnelle au premier événement, puisque lors du retrait d'un pantalon, il n'y en a plus 24, mais 23. Et si un petit pantalon est enlevé, il y en a 7 au lieu de 8.

L'événement A tire un petit pantalon, après en avoir tiré un autre du premier coup. Et l'événement B est celui avec le petit pantalon pour la première fois. Donc:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

Enfin, en utilisant la règle de multiplication:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

Exercice résolu

Dans une étude de ponctualité sur les vols commerciaux, les données suivantes sont disponibles:

-P (B) = 0,83, est la probabilité qu'un avion décolle à l'heure.

-P (A) = 0,81, est la probabilité d'atterrir à l'heure.

-P (B∩A) = 0,78 est la probabilité que le vol arrive à l'heure en décollant à l'heure.

Il est demandé de calculer:

a) Quelle est la probabilité que l'avion atterrisse à l'heure étant donné qu'il a décollé à l'heure?

b) La probabilité ci-dessus est-elle la même que la probabilité que vous soyez parti à l'heure si vous avez réussi à atterrir à l'heure?

c) Et enfin: quelle est la probabilité qu'il arrive à l'heure étant donné qu'il n'est pas parti à l'heure?

Figure 2. La ponctualité sur les vols commerciaux est importante, car les retards génèrent des millions de dollars de pertes. Source: Pixabay.

Solution pour

Pour répondre à la question, la définition de la probabilité conditionnelle est utilisée:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A et B) / P (B) = 0,78 / 0,83 = 0,9398

Solution b

Dans ce cas, les événements de la définition sont échangés:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A et B) / P (A) = 0,78 / 0,81 = 0,9630

Notez que cette probabilité est légèrement différente de la précédente, comme nous l'avons souligné précédemment.

Solution c

La probabilité de ne pas partir à l'heure est de 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, nous l'appellerons P (B ^C), car c'est l'événement complémentaire pour décoller à l'heure. La probabilité conditionnelle recherchée est:

P (A│B ^C) = P (A∩B ^C) / P (B ^C) = P (A et B ^C) / P (B ^C)

D'un autre côté:

P (A∩B ^C) = P (atterrissage à l'heure) - P (atterrissage à l'heure et décollage à l'heure) = 0,81-0,78 = 0,03

Dans ce cas, la probabilité conditionnelle recherchée est:

P (A│B ^C) = 0,03 / 0,17 = 0,1765

Références

1. Canavos, G. 1988. Probabilité et statistiques: applications et méthodes. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Probabilité et statistiques pour l'ingénierie et la science. 8ème. Édition. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Série Schaum: Probabilité. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Théorie des probabilités. Éditorial Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Probabilité et statistiques pour l'ingénierie et les sciences. Pearson.
6. Wikipédia. Probabilite conditionnelle. Récupéré de: es.wikipedia.org.