PERMUTATIONS CIRCULAIRES: PREUVES, EXEMPLES, EXERCICES RÉSOLUS - DUDAS - 2025

Les permutations circulaires sont différents types de regroupements de tous les éléments d'un ensemble, lorsqu'ils doivent être disposés en cercles. Dans ce type de permutation, l'ordre compte et les éléments ne sont pas répétés.

Par exemple, supposons que vous souhaitiez connaître le nombre de tableaux distincts de chiffres de un à quatre, en plaçant chaque nombre à l'un des sommets d'un losange. Ce serait 6 arrangements au total:

Il ne faut pas confondre le numéro un dans la position supérieure du losange dans tous les cas en tant que position fixe. Les permutations circulaires ne sont pas modifiées par la rotation du tableau. Les éléments suivants sont une ou la même permutation:

Démo et formules

Dans l'exemple des différents tableaux circulaires à 4 chiffres situés aux sommets d'un losange, le nombre de tableaux (6) peut être trouvé comme ceci:

1- L'un des quatre chiffres est pris comme point de départ à l'un des sommets et passe au sommet suivant. (peu importe s'il est tourné dans le sens horaire ou antihoraire)

2- Il reste 3 options pour sélectionner le deuxième sommet, puis il y a 2 options pour sélectionner le troisième sommet et, bien sûr, il n'y a qu'une seule option de sélection pour le quatrième sommet.

3- Ainsi, le nombre de permutations circulaires, noté (4 - 1) P (4 - 1), est obtenu par le produit des options de sélection dans chaque position:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 différents tableaux circulaires à 4 chiffres.

En général, le nombre de permutations circulaires réalisables avec tous les n éléments d'un ensemble est:

(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Notez que (n - 1)! Il est connu sous le nom de factorielle n et abrége le produit de tous les nombres du nombre (n - 1) au nombre un inclus.

Exemples

Exemple 1

De combien de façons différentes 6 personnes doivent-elles s'asseoir à une table circulaire?

Vous voulez trouver le nombre de façons différentes dont 6 personnes peuvent s'asseoir autour d'une table ronde.

N ° de façons de s'asseoir = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Nombre de façons de s'asseoir = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 façons différentes

Exemple 2

De combien de manières différentes disposent 5 personnes pour se localiser aux sommets d'un pentagone?

Le nombre de façons dont 5 personnes peuvent être localisées à chacun des sommets d'un pentagone est recherché.

N ° de voies à localiser = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

N ° de voies à localiser = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 voies différentes

Exercices résolus

- Exercice 1

Un bijoutier acquiert 12 pierres précieuses différentes pour les placer dans les points des heures d'une horloge qu'il prépare pour le compte de la maison royale d'un pays européen.

a) De combien de manières différentes dispose-t-il pour disposer les pierres sur l'horloge?

b) Combien de formes différentes a-t-il si la pierre qui va jusqu'à 12 heures est unique?

c) Combien de formes différentes si la pierre à 12 heures est unique et les pierres aux trois autres points cardinaux, 3, 6 et 9 heures; Y a-t-il trois pierres particulières qui peuvent être échangées, et le reste des heures est attribué au reste des pierres?

Solutions

a) Le nombre de façons de disposer toutes les pierres sur la circonférence de l'horloge est demandé; c'est-à-dire le nombre d'arrangements circulaires impliquant toutes les pierres disponibles.

Nombre d'arrangements sur l'horloge = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Nombre de corrections sur l'horloge = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Nombre d'arrangements sur l'horloge = 39976800 formes différentes

b) Il se demande combien de manières différentes de commander existent, sachant que la pierre sur la poignée de 12 heures est unique et fixe; c'est-à-dire le nombre d'arrangements circulaires impliquant les 11 pierres restantes.

Nombre d'arrangements sur l'horloge = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Nombre de correctifs sur l'horloge = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Nombre d'arrangements sur l'horloge = 3628800 formes différentes

c) Enfin, le nombre de façons de commander toutes les pierres est recherché à l'exception de la pierre de 12 heures qui est fixe, les pierres 3, 6 et 9 qui ont 3 pierres à attribuer l'une à l'autre; c'est-à-dire 3! les possibilités de disposition, et le nombre d'arrangements circulaires impliquant les 8 pierres restantes.

Nombre de corrections dans l'horloge = 3! * = 3! * (8–1)!

Nombre d'arrangements dans l'horloge = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Nombre d'arrangements sur l'horloge = 241920 formes différentes

- Exercice 2

Le comité de pilotage d'une entreprise est composé de 8 membres et ils se réunissent autour d'une table ovale.

a) Combien de formes différentes d'arrangements le comité a-t-il autour de la table?

b) Supposons que le président siège à la tête de la table dans n'importe quel arrangement de comité, combien de formes différentes d'arrangements le reste du comité a-t-il?

c) Supposons que le vice-président et le secrétaire siègent de chaque côté du président dans n'importe quel arrangement de comité Combien de formes d'arrangement différentes le reste du comité a-t-il?

Solutions

a) Nous voulons trouver le nombre de façons différentes de disposer les 12 membres du comité autour de la table ovale.

N ° d'arrangements de comité = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

N ° d'arrangements de comité = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° d'arrangements de comité = 39976800 formes différentes

b) Puisque le président du comité occupe un poste fixe, le nombre de façons de placer les 11 autres membres du comité autour de la table ovale est recherché.

N ° d'arrangements de comité = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

N ° d'arrangements de comité = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° d'arrangements de comité = 3628800 formes différentes

c) Le président est situé dans une position fixe et sur les côtés se trouvent le vice-président et le secrétaire avec deux possibilités de disposition: vice-président à droite et secrétaire à gauche ou vice-président à gauche et secrétaire à droite. Ensuite, vous voulez trouver le nombre de façons différentes de classer les 9 membres restants du comité autour de la table ovale et multiplier par les 2 formes d'arrangements que le vice-président et le secrétaire ont.

N ° d'arrangements de comité = 2 * = 2 *

N ° d'arrangements de comité = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

N ° d'arrangements de comité = 80640 formes différentes

Références

1. Boada, A. (2017). Utilisation de la permutation avec répétition comme enseignement d'expériences. Magazine Vivat Academia. Récupéré de researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Probabilité et statistique. Applications et méthodes. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Verre, G.; Stanley, J. (1996). Méthodes statistiques non appliquées aux sciences sociales. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Statistiques. Quatrième éd. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Oui, Ka. (2007). Probabilité et statistiques pour ingénieurs et scientifiques. Huitième éd. Salle des Prentices de Pearson Education International.
6. Webster, A. (2000). Statistiques appliquées aux entreprises et à l'économie. Troisième éd. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. Wikipédia. (2019). Permutation. Récupéré de en.wikipedia.org.