MÉTHODE AXIOMATIQUE: CARACTÉRISTIQUES, ÉTAPES, EXEMPLES - VOCABULAIRE DE LA CULTURE - 2024

La méthode axiomatique ou aussi appelée axiomatique est une procédure formelle utilisée par les sciences au moyen de laquelle sont formulées des énoncés ou des propositions appelés axiomes, reliés entre eux par une relation de déductibilité et qui sont à la base des hypothèses ou des conditions d'un certain système.

Cette définition générale doit s'inscrire dans l'évolution que cette méthodologie a connue tout au long de l'histoire. En premier lieu, il existe une méthode ancienne ou de contenu, née dans la Grèce antique d'Euclide et développée plus tard par Aristote.

Deuxièmement, dès le XIXe siècle, l'apparition d'une géométrie avec des axiomes différents de ceux d'Euclide. Et enfin, la méthode axiomatique formelle ou moderne, dont le plus grand représentant était David Hilbert.

Au-delà de son développement au fil du temps, cette procédure a été la base de la méthode déductive, utilisée dans la géométrie et la logique d'où elle est née. Il a également été utilisé en physique, chimie et biologie.

Et il a même été appliqué dans les domaines de la science juridique, de la sociologie et de l'économie politique. Cependant, actuellement, son domaine d'application le plus important est les mathématiques et la logique symbolique et certaines branches de la physique telles que la thermodynamique, la mécanique, entre autres disciplines.

caractéristiques

Bien que la caractéristique fondamentale de cette méthode soit la formulation d'axiomes, ceux-ci n'ont pas toujours été considérés de la même manière.

Il y en a qui peuvent être définis et construits de manière arbitraire. Et d'autres, selon un modèle dans lequel sa vérité garantie est intuitivement considérée.

Afin de comprendre précisément en quoi consiste cette différence et ses conséquences, il est nécessaire de passer par l'évolution de cette méthode.

Méthode axiomatique ancienne ou de contenu

C'est celui établi dans la Grèce antique vers le 5ème siècle avant JC. Son domaine d'application est la géométrie. Le travail fondamental de cette étape est les Éléments d'Euclide, bien que l'on considère qu'avant lui, Pythagore, avait déjà donné naissance à la méthode axiomatique.

Ainsi les Grecs prennent certains faits comme des axiomes, sans exiger aucune preuve logique, c'est-à-dire sans avoir besoin de preuve, puisqu'ils sont pour eux une vérité évidente.

Pour sa part, Euclide présente cinq axiomes pour la géométrie:

1-Étant donné deux points, il y a une ligne qui les contient ou les joint.

2-Tout segment peut être étendu en continu dans une ligne illimitée des deux côtés.

3-Vous pouvez dessiner un cercle qui a un centre à n'importe quel point et n'importe quel rayon.

4-Les angles droits sont tous les mêmes.

5-En prenant n'importe quelle ligne droite et tout point qui n'y est pas, il y a une ligne droite parallèle et qui contient ce point. Cet axiome est connu, plus tard, comme l'axiome des parallèles et a également été énoncé comme: un seul parallèle peut être tracé à partir d'un point à l'extérieur d'une ligne.

Cependant, Euclide et les mathématiciens ultérieurs conviennent que le cinquième axiome n'est pas aussi intuitivement clair que les autres 4. Même pendant la Renaissance, une tentative est faite pour déduire le cinquième des 4 autres, mais ce n'est pas possible.

Ceci a fait que déjà dans le siècle XIX, ceux qui ont maintenu les cinq étaient en faveur de la géométrie euclidienne et ceux qui ont nié la cinquième, étaient ceux qui ont créé les géométries non-euclidiennes.

Méthode axiomatique non euclidienne

C'est justement Nikolai Ivanovich Lobachevski, János Bolyai et Johann Karl Friedrich Gauss qui voient la possibilité de construire, sans contradiction, une géométrie issue de systèmes d'axiomes autres que ceux d'Euclide. Cela détruit la croyance en la vérité absolue ou a priori des axiomes et des théories qui en découlent.

Par conséquent, les axiomes commencent à être conçus comme des points de départ pour une théorie donnée. Aussi bien son choix que le problème de sa validité dans un sens ou dans un autre, commencent à être liés à des faits en dehors de la théorie axiomatique.

De cette manière, les théories géométriques, algébriques et arithmétiques apparaissent construites au moyen de la méthode axiomatique.

Cette étape aboutit à la création de systèmes axiomatiques pour l'arithmétique comme celui de Giuseppe Peano en 1891; La géométrie de David Hubert en 1899; les déclarations et les calculs de prédicat d'Alfred North Whitehead et de Bertrand Russell, en Angleterre en 1910; Théorie axiomatique des ensembles d'Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo en 1908.

Méthode axiomatique moderne ou formelle

C'est David Hubert qui initie la conception d'une méthode axiomatique formelle et qui conduit à son aboutissement, David Hilbert.

C'est précisément Hilbert qui formalise le langage scientifique, considérant ses énoncés comme des formules ou des séquences de signes qui n'ont pas de sens en soi. Ils n'acquièrent de sens que dans une certaine interprétation.

Dans «Les fondements de la géométrie», il explique le premier exemple de cette méthodologie. Désormais, la géométrie devient une science aux conséquences logiques pures, qui sont extraites d'un système d'hypothèses ou d'axiomes, mieux articulé que le système euclidien.

C'est parce que dans l'ancien système, la théorie axiomatique est basée sur l'évidence des axiomes. Alors que dans le fondement de la théorie formelle, il est donné par la démonstration de la non-contradiction de ses axiomes.

Pas

La procédure qui effectue une structuration axiomatique au sein des théories scientifiques reconnaît:

a-le choix d'un certain nombre d'axiomes, c'est-à-dire d'un certain nombre de propositions d'une certaine théorie qui sont acceptées sans avoir besoin d'être prouvées.

b-les concepts qui font partie de ces propositions ne sont pas déterminés dans le cadre de la théorie donnée.

c-les règles de définition et de déduction de la théorie donnée sont fixées et permettent d'introduire de nouveaux concepts dans la théorie et de déduire logiquement certaines propositions des autres.

d-les autres propositions de la théorie, c'est-à-dire le théorème, sont déduites de a sur la base de c.

Exemples

Cette méthode peut être vérifiée par la preuve des deux théorèmes d'Euclide les plus connus: le théorème des jambes et le théorème de la hauteur.

Les deux proviennent de l'observation de ce géomètre grec que lorsque la hauteur par rapport à l'hypoténuse est tracée dans un triangle rectangle, deux autres triangles de l'original apparaissent. Ces triangles sont similaires les uns aux autres et en même temps similaires au triangle d'origine. Cela suppose que leurs côtés homologues respectifs sont proportionnels.

On peut voir que les angles congruents dans les triangles vérifient ainsi la similitude qui existe entre les trois triangles impliqués selon le critère de similarité AAA. Ce critère soutient que lorsque deux triangles ont tous les mêmes angles, ils sont similaires.

Une fois qu'il est montré que les triangles sont similaires, les proportions spécifiées dans le premier théorème peuvent être établies. La même déclaration que dans un triangle rectangle, la mesure de chaque jambe est la moyenne proportionnelle géométrique entre l'hypoténuse et la projection de la jambe sur elle.

Le deuxième théorème est celui de la hauteur. Il spécifie que tout triangle rectangle dont la hauteur est dessinée en fonction de l'hypoténuse est la moyenne proportionnelle géométrique entre les segments qui sont déterminés par ladite moyenne géométrique sur l'hypoténuse.

Bien sûr, les deux théorèmes ont de nombreuses applications dans le monde non seulement dans l'enseignement, mais aussi dans l'ingénierie, la physique, la chimie et l'astronomie.

Références

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Géométrie, formalisme et intuition: David Hilbert et la méthode axiomatique formelle (1895-1905). Revista de Filosofía, vol. 39 n ° 2, pages 121-146. Tiré de magazines.ucm.es.
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